(ТФКП) Помогите вычислить несколько интегралов

[Shamanishche]

svv в сообщении #406395 писал(а):

Чему равно произведение $10$ одинаковых множителей, каждый из которых равен модулю $\sqrt[10] 2$?

2

svv в сообщении #406395 писал(а):

Чему равна сумма $10$ одинаковых слагаемых, каждый из которых равен аргументу $\frac {n\pi} 5$?

$2 \pi n$

[Troll1984]

А чему равно $e^{2\pi n i}$?
По формуле $e^{xi} = \cos x + i \cdot \sin x$
Следовательно $e^{2\pi n i} = \cos (2\pi n)+i\cdot \sin (2\pi n) = 1$.
Вот и получили, что $z^{10}=2$.

[svv]

Верно! $2\pi n$ -- то есть целое количество оборотов (один оборот -- это $2\pi$).
А если начать с числа $2$ (как комплексного) и совершить целое количество оборотов, это опять будет $2$. Формально: $2e^{2\pi n i}=2$.
Поэтому десятая степень от любого из тех полюсов равна $2$.

Неплохо еще представлять, что все эти полюсы расположены на окружности $|z|=\sqrt[10]2$ равномерно и углы-аргументы у них $0$, $\pi/5$, $2\pi/5$ и так далее до $9\pi/5$, а дальше было бы $10\pi/5=2\pi$, но это уже целый оборот.
И все эти углы обладают таким свойством: если каждый угол увеличить в $10$ раз, то все точки чудесным образом окажутся на вещественной оси, и даже на положительной полуоси (при этом каждая совершит $n$ оборотов, например, полюс с углом $3\pi/5$ совершит $3$ оборота и станет действительным положительным числом).

Представили эту картину?

[Shamanishche]

представил))

[svv]

Спасибо.

[Shamanishche]

[Troll1984]

Теперь осталось найти вычеты.

[integral2009]

Shamanishche в сообщении #406411 писал(а):

:mrgreen:

Лучше разложить на простейшие, чтобы вычеты было проще считать)

[ewert]

integral2009 в сообщении #406442 писал(а):

Лучше разложить на простейшие,

В данном конкретном случае -- куда хуже. Все вычеты-то очень простые, если маленько подумать.

А если не думать, то да, всё сводится просто тупо к вычету в бесконечности, как тут уж упоминалось.

[Shamanishche]

1) $\int\limits_{D} \frac{z^2sin^2{\frac{1}{z}} }{(z-1)(z-2)} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<3$)

2) $\int\limits_{D} zcos{\frac{z}{z+1} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|>2$)

3) $\int\limits_{D} \frac{e^{\pi z}}{2z^2-i} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<1$, ReZ>0, ImZ>0)

4) $\int\limits_{D} \frac{z^2}{e^{2 \pi i z^3}-1} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<\sqrt[3] {n+ {\frac{1}{2}}} $, n=0,1,2,...)

P.S: Делитесь соображениями

[integral2009]

Shamanishche в сообщении #406606 писал(а):

1) $\int\limits_{D} \frac{z^2sin^2{\frac{1}{z}} }{(z-1)(z-2)} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<3$)

2) $\int\limits_{D} zcos{\frac{z}{z+1} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|>2$)

3) $\int\limits_{D} \frac{e^{\pi z}}{2z^2-i} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<1$, ReZ>0, ImZ>0)

4) $\int\limits_{D} \frac{z^2}{e^{2 \pi i z^3}-1} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<\sqrt[3] {n+ {\frac{1}{2}}} $, n=0,1,2,...)

P.S: Делитесь соображениями

С таким подходом - не дождетесь соображений)

[Shamanishche]

У меня уже иссякли все подходы. Мне надо решить 15 номеров, я решил 6. Остальные не получаются. Вот прошу помощи, хотя бы эти четыре примера..

[integral2009]

Shamanishche в сообщении #407409 писал(а):

У меня уже иссякли все подходы. Мне надо решить 15 номеров, я решил 6. Остальные не получаются. Вот прошу помощи, хотя бы эти четыре примера..

Вы вычеты в первом примере пробовали считать?

[Shamanishche]

пробовал... А правильно как: надо от всего подынтегрального выражения считать вычет или от какой то части...или от нескольких частей отдельно потом сложить\перемножить...как?

[Troll1984]

От всего. В первом примере надо найти вычеты в 1, в 2 и в 0.