Интеграл

[myra_panama]

Найти интеграл:
$\int \frac{dx}{1+x^{2n}}$
n - целое поло положительное число

[Ales]

$-\frac 1 {2n}\sum \limits_{r^{2n}=-1} r\ln(x-r)$

-- Чт янв 27, 2011 20:05:36 --

$x - \frac {x^{2n+1}} {2n+1}+\frac {x^{4n+1}} {4n+1}- \frac {x^{6n+1}} {6n+1}+...$

[myra_panama]

Ales в сообщении #405454 писал(а):

$-\frac 1 {2n}\sum \limits_{r^{2n}=-1} r\ln(x-r)$

а как это???

[Ales]

$\frac 1 {x^{2n}-(-1)}$ раскладываете в сумму $\frac 1 {a_r (x-r)}$
$a_r $ равно производной $x^{2n}+1$, при $x=r$

-- Чт янв 27, 2011 20:40:29 --

Да, кстати, а что такое по-вашему "найти интеграл"?

[myra_panama]

Цитата:

$x - \frac {x^{2n+1}} {2n+1}+\frac {x^{4n+1}} {4n+1}- \frac {x^{6n+1}} {6n+1}+...$

Этот ответ по моему не соответствует . Например при n=1 имеем
$\arctg{x}$
Или вы как сказать разложили в ряд,,,??? если разложить функцию $\arctg{x}$ в ряд тейлора то можем получать ваш ответь при n=1

[paha]

myra_panama в сообщении #405489 писал(а):

Этот ответ по моему не соответствует . Например при n=1 имеем
$\arctg{x}$

Всё соответствует... просто надо тщательнЕе:

$$ \frac{1}{1+x^{2n}}=\sum_{r^{2n}=-1}\frac{c_r}{x-r} $$

откуда $\forall a\in\mathbb{C}$ что $a^{2n}=-1$ имеем

$$ \lim_{x\to a}\frac{x-a}{1+x^{2n}}=\lim_{x\to a}\sum_{r^{2n}=-1}\frac{c_r(x-a)}{x-r}=c_a=\frac{1}{2na^{2n-1}}=-\frac{a}{2n}. $$

Но $\forall a\in\mathbb{C}$ что $a^{2n}=-1$ будет $a\ne \bar{a}$, поэтому

$$ \int \frac{dx}{1+x^{2n}}=-\frac{1}{2n}\sum_{r^{2n}=-1,\,{\rm Im} r>0}\int\left(\frac{r}{x-r}+\frac{\bar{r}}{x-\bar{r}}\right)dx= \frac{1}{n}\sum_{r^{2n}=-1,\,{\rm Im} r>0}\int\frac{1-{\rm Re}r\cdot x}{x^2-2{\rm Re}r\cdot x+1}dx $$

В случае $n=1$ имеем $r=\pm i$, ${\rm Re}r=0$ и получается Ваш арктангенс

-- Чт янв 27, 2011 22:24:16 --

Да... полный ответ:

paha в сообщении #405569 писал(а):

$$ \int \frac{dx}{1+x^{2n}}= \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\int\frac{1-\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\cdot x}{x^2-2\cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\cdot x+1}dx $$

интегралы под суммой -- табличные

[myra_panama]

ДА большое спс ,

[ewert]

Если имелся в виду не интеграл по всей оси, то задача довольно бессмысленна. Если же по всей -- то по вычетам это пропорционально сумме половины всех комплексных корней степени $2n$ из минус единицы и дальше как в школе учили про геометрическую прогрессию.