замыкание выпуклого множества

[Nerazumovskiy]

Вопрос звучит так:

Цитата:

Привести пример замкнутого множества в $R^{2}$, выпуклая оболочка которого не является замкнутой

Я так понимаю что в $R^{1}$, такого пример нету.

Уже довольно долго не могу придумать примера, может кто подсказать?

[Gortaur]

Что такое выпуклая оболочка? соединение всех точек отрезками?

[Nerazumovskiy]

Gortaur в сообщении #403873 писал(а):

Что такое выпуклая оболочка? соединение всех точек отрезками?

Ну что-то вроде. А если строго, то это минимальное выпуклое множество которое покрывает заданное.

[caxap]

(Ничего по теме не понимаю, но...)

попробуйте $\varnothing$, множество из одной точки (или конечного числа), канторово множество (или его часть)...

[ewert]

Возьмите букву "Г", у которой вертикальная ножка уходит на бесконечность.

(выпуклая оболочка компакта, естественно, всегда замкнута)

[Gortaur]

А буква Г замкнута если хвост бесконечный?

[Nerazumovskiy]

ewert в сообщении #403878 писал(а):

Возьмите букву "Г", у которой вертикальная ножка уходит на бесконечность.

Вот честно говоря не понял почему оболочка будет не замкнутой. Ведь если спроектировать полоску которая получится на вот эту же ножку, то получим лучь, а на луче как вы же и сами сказали у нас ничего не получится.

Gortaur в сообщении #403890 писал(а):

А буква Г замкнута если хвост бесконечный?

для меня это тоже как-то не очевидно.

[Lazy]

В $R^1$ примера, конечно, нету. Потому что выпуклая оболочка определена минимум для плоскости. Вообще, выпуклая оболочка (графически) представляет собой выпуклый многоугольник, составленный из последовательно соединенных точек множества ломаной так, чтобы все точки множества лежали либо на границе, либо внутри фигуры.

Касаемо постановки задачи: как определена топология? Если она к задаче отношения не имеет, то как у Вас расшифровывается определение "замкнутое множество в $R^2$"?

[Padawan]

ewert в сообщении #403878 писал(а):

(выпуклая оболочка компакта, естественно, всегда замкнута)

Вам это очевидно? Это только в конечномерном так.

[Nerazumovskiy]

Цитата:

Касаемо постановки задачи: как определена топология? Если она к задаче отношения не имеет, то как у Вас расшифровывается определение "замкнутое множество в $R^2$"?

Хм, а вопрос то интересный как она у меня определена. Вообщем говоря, в источнике не введено понятие замкнутости :).
Для себя замкнутость я понимаю как принадлежность границы любой внутренней(к данному множеству) последовательности точек(множеств - я думаю не столь важно) данному множеству.

[Lazy]

Если у Вас не определена топология, то скорее всего имеется в виду каноническая (или стандартная) топология в $R$, то есть совокупности объединений открытых интервалов, хотя мэй би я и не прав .

Так вот, если множество $A$ принадлежит топологии, то оно наз. открытым. Если его дополнение $R/A$ также принадлежит топологии, то $A$ наз. замкнутым в $R$.

Отсюда Вам нужно придумать пример выпуклой оболочки (множества), дополнение которого не будет принадлежать стандартной топологии. Это если я правильно понимаю задачу .

P.S.: Как обратный слеш написать в латехе?

[Nerazumovskiy]

Спасибо, но вот с моим неполным третьим курсом, для меня все-же слово топология остается некой диковинкой.
Я почти вас не понял.

Цитата:

пример выпуклой оболочки (множества), дополнение которого не будет принадлежать стандартной топологии

Осталось выяснить что такое стандартная топология :)

[Lazy]

Я написал уже: стандартной топологией в $R$ называется множество, элементами которого являются всевозможные совокупности объединений открытых интервалов. Например: $(a, b) \cup (c, d)$, где $a,b,c,d \in R$.

[ewert]

Padawan в сообщении #403951 писал(а):

Вам это очевидно? Это только в конечномерном так.

Это я просто ляпнул. Повёлся на то, что, дескать, выпуклая оболочка -- это объединение отрезков. Хотя это, конечно, и неверно. И, кстати, по здравом размышлении, даже и в конечномерном случае не вполне понимаю, так ли это. Меня извиняет лишь то, что я в выпуклом анализе -- вообще не особенно копенгаген.

Gortaur в сообщении #403890 писал(а):

А буква Г замкнута если хвост бесконечный?

замкнута. А вот её линейная оболочка -- очевидна и замкнутой, очевидно, не будет.

[MaximVD]

Есть стандартный пример, описанный во многих учебниках: возьмём множество $A = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0, y \ge \frac 1 x \} \cup \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0, y \le - \frac 1 x \}$.
Совсем несложно найти чему будет равна выпуклая оболочка множества $A$ и это множество будет открыто.

И, кстати, можно показать, что в $\mathbb{R}$ требуемого примера не привести (выпуклая оболочка определена в любом линейном пространстве, в том числе и на прямой).