Предел последовательности вложенных множеств - пусто или нет

[Gortaur]

Есть последовательность вложенных множеств $B_{n+1}\subset B_n$. Верно ли что если каждое из множеств непусто, то и предел также непуст?

[Виктор Викторов]

Нет. Неверно. Пример: $(-\frac 1 n; 0)\cup(0; \frac 1 n)$ Рассмотрите пересечение при всех натуральных $n$. Пересечение пусто.

[Gortaur]

А если все замкнутые?

[ewert]

Gortaur в сообщении #401954 писал(а):

А если все замкнутые?

Зависит от полноты пространства.

[Хорхе]

Но даже в полном пространстве может быть пустым. Вот в компактном точно не пустое.

[Gortaur]

То есть если они все лежат в компакте?

[ewert]

Хорхе в сообщении #401960 писал(а):

Но даже в полном пространстве может быть пустым.

Это правда.

[Виктор Викторов]

Gortaur в сообщении #401954 писал(а):

А если все замкнутые?

Хорхе в сообщении #401960 писал(а):

Но даже в полном пространстве может быть пустым. Вот в компактном точно не пустое.

Вот именно это я и хотел сказать. А ещё привести пример пересечения совокупности множеств $\mathbb{N}\setminus \left\{n\right\}$ при всех натуральных $n$. Пересечение пусто, а все множества замкнуты.

[Gortaur]

Так, предел вложенных непустых компактов непуст?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #401964 писал(а):

Пересечение пусто, а все множества замкнуты.

Слишком экзотично. Достаточно просто последовательность полубесконечных промежутков, уходящих в бесконечность.

[Виктор Викторов]

Gortaur в сообщении #401961 писал(а):

То есть если они все лежат в компакте?

Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая вполне упорядоченная система непустых убыващих замкнутых множеств этого пространства имеет непустое пересечение. Советую посмотреть страницу 240 в книге П. С. Александров «Введение в теорию множеств и общую топологию».

[ewert]

Gortaur в сообщении #401970 писал(а):

Так, предел вложенных непустых компактов непуст?

Естественно. Просто возьмите последовательность, включающую по одной точке из каждого.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #401964 писал(а):

... пересечения совокупности множеств $\mathbb{N} \setminus\left\{n\right\}$ при всех натуральных $n$. Пересечение пусто, а все множества замкнуты.

ewert в сообщении #401971 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #401964 писал(а):

Пересечение пусто, а все множества замкнуты.

Слишком экзотично. Достаточно просто последовательность полубесконечных промежутков, уходящих в бесконечность.

Что такое «Слишком экзотично» я не понял. Оба примера, с моей точки зрения, прекрасны.

(Оффтоп)

Кстати, мне очень не нравится ставить между множествами минус "-", а "\" не фурычит. Может кто поможет?

[ewert]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #401978 писал(а):

Кстати, мне очень не нравится ставить между множествами минус "-", а "\" не фурычит. Может кто поможет?

Вряд ли. У америкосов превратное представление о внешнем виде сетминуса.

-- Чт янв 20, 2011 00:22:33 --

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #401978 писал(а):

Что такое «Слишком экзотично» я не понял

Ну, интерпретировать целочисленное множество как метрическое или топологическое -- это, на мой вкус, именно экзотика. Хотя это дело вкуса.

[Хорхе]

Виктор Викторов в сообщении #401972 писал(а):

Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая вполне упорядоченная система непустых убыващих замкнутых множеств этого пространства имеет непустое пересечение.

А для ответа на вопрос топикстартера специально придумали термин "секвенциальный компакт". Так что можно перефразировать:
Топологическое пространство секвенциально компактно тогда и только тогда, когда каждая последовательность непустых убыващих замкнутых множеств этого пространства имеет непустое пересечение.