замкнутость и минимальность множества точек прикосновения

[ean]

Помогите разобраться с доказательством теоремы:
$F = \bar X$, где $\bar X$ - множество точек прикосновения $X$, а $F$ - пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $X$.
Сначала доказывается, что $\bar X$ - замкнутое - эта часть мне понятна.
Дальше, $\bar X$ замкнуто, $X \subset \bar X$, следовательно $F \subset \bar X$ по построению $F$. Доказываем, что $\bar X \subset F$.
Пусть $z \in \mathbb{R} \setminus F$, следовательно $\exists F_X$ - замкнутое такое, что $z \in \mathbb{R} \setminus F_X$ (т.е. $F_X$ - одно из замкнутых множеств, содержащих $X$). $\mathbb{R} \setminus F_X$ - открытое, т.е. $\exists U(z) \subset \mathbb{R} \setminus F_X: U(z) \cap X = \varnothing$ (в открытом множестве для любой точки существует окрестность полностью находящаяся в этом множестве, а $X$ не входить в $\mathbb{R} \setminus F_X$, значит для такой окрестности пересечение с $X$ пустое множество).
Дальше аналогично пусть $z \in \mathbb{R} \setminus \bar X$, $\mathbb{R} \setminus \bar X$ - открытое множество, тогда $\exists U(z) \subset \mathbb{R} \setminus \bar X: U(z) \cap \bar X = \varnothing$.
Из вышенаписанного следует, что $\mathbb{R} \setminus F \subset \mathbb{R} \setminus \bar X$ - вот этот вывод мне не понятен. Почему это следует из того что написано раньше?

[maxmatem]

Если не трудно то сформулируйте утверждение которое хотите доказать.

[ean]

maxmatem в сообщении #401807 писал(а):

Если не трудно то сформулируйте утверждение которое хотите доказать.

Я его сформулировал в самом начале:
$F = \bar X$, где $\bar X$ - множество точек прикосновения $X$, а $F$ - пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $X$

Конкретно, я хочу понять как доказывается, что $\bar X \subset F$

[zhoraster]

maxmatem, Ваше сообщение помещено в "Карантин" по очевидным причинам. Сделайте его читабельным и сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено.

[ewert]

ean в сообщении #401808 писал(а):

Конкретно, я хочу понять как доказывается, что $\bar X \subset F$

Если, наоборот, есть некоторое $x\in\bar X$, но $x\not\in F$, то и некоторая окрестность $U\ni x$ не пересекается с $F$ (поскольку дополнение до $F$ открыто). Тем более $U$ не пересекается с $X$, а это противоречит тому, что $x\in\bar X$.

[ean]

ewert в сообщении #401813 писал(а):

Если, наоборот, есть некоторое $x\in\bar X$, но $x\not\in F$, то и некоторая окрестность $U\ni x$ не пересекается с $F$ (поскольку дополнение до $F$ открыто). Тем более $U$ не пересекается с $X$, а это противоречит тому, что $x\in\bar X$.

Спасибо огромное, понял прямо с первого прочтения.