Каким способом решать эти два диффура?

[integral2009]

1) $4y^3y''=16y^4-1$

Подойдет замена $y'=p$?

не подошла

$y'=p=\dfrac{dy}{dx}$

$y''=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$

$4y^3p\dfrac{dp}{dy}=16y^4-1$

$pdp=\dfrac{16y^4-1}{4y^3}dy=4ydy-\dfrac{1}{4}\dfrac{dy}{y^3}$

$\dfrac{p^2}{2}=2y^2+\dfrac{1}{8y^2}+\dfrac{C}{2}$

$p=\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{4y^2}+C}$

Где-то ошибка?


2) $y'+\dfrac{xy}{2(1-x^2)}=\dfrac{x}{2}$

Можно ли сделать замену $y=u\cdot v$ или есть способ проще?

[gris]

2. Да вроде бы и так не сложно. Интеграл берётся.

[ewert]

integral2009 в сообщении #401286 писал(а):

или есть способ проще?

Куда уж проще, тем более что это стандарт.

По первому пункту. Интеграл противненький, да, но всё-таки берётся. Правда, придётся муторно перебирать разные варианты насчёт $C$, но уж что поделаешь. Впрочем, есть сильные подозрения, что в задаче были ещё и начальные условия, о которых Вы как-то подзабыли.

[integral2009]

ewert в сообщении #401302 писал(а):

integral2009 в сообщении #401286 писал(а):

или есть способ проще?

Куда уж проще, тем более что это стандарт.

По первому пункту. Интеграл противненький, да, но всё-таки берётся. Правда, придётся муторно перебирать разные варианты насчёт $C$, но уж что поделаешь. Впрочем, есть сильные подозрения, что в задаче были ещё и начальные условия, о которых Вы как-то подзабыли.

Спасибо,Да, вы правы, там еще начальные условия)

А в этом примере у меня вопрос есть тоже, повис на одном моменте

$y'+\dfrac{xy}{2(1-x^2)}=\dfrac{x}{2}$

$\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{xy}{2(1-x^2)}=\dfrac{x}{2}$

$dy+ \dfrac{xydx}{2(1-x^2)}=\dfrac{xdx}{2}$

Делаем замену

$y=u\cdot v$

$dy=udv+vdu$

$udv+vdu+\dfrac{xuvdx}{2(1-x^2)}=\dfrac{xdx}{2}$


Тут дальше неясно как делать, $dx$ мешает...

[ewert]

integral2009 в сообщении #401314 писал(а):

Да, вы правы, там еще начальные условия)

Тогда выбивайте константу с их помощью. Немедленно, после первого же интегрирования.

integral2009 в сообщении #401314 писал(а):

Тут дальше неясно как делать,

Чепуха какая-то. Подставляйте "$uv$" непосредственно в исходное уравнение, безо всяких финтифлюшек. Как и положено по шаблону. И требуйте, чтоб два из четырёх полученных слагаемых сократились.

[integral2009]

ewert в сообщении #401318 писал(а):

integral2009 в сообщении #401314 писал(а):

Да, вы правы, там еще начальные условия)

Тогда выбивайте константу с их помощью. Немедленно, после первого же интегрирования.

Хорошо, только нужно осуществить это самое первое интегрирование...

начальные условия такие $y'(0)=y(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$y'=p=\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{4y^2}+C}$

$y=\int\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{4y^2}+C}dx$

А какую замену лучше сделать, чтобы взять этот интеграл? Поможет ли приведение к общему знаменателю? Напрашивается замена $z=4y^2$

[gris]

Как то не так Вы интегрируете. Корень будет в другой стороне, перевёрнутый и интегрироваться по $y$. А кислород замену попробуйте. И ванны подстановку в уравнение сразу же двух начальных условий.

[ewert]

integral2009 в сообщении #401320 писал(а):

начальные условия такие $y'(0)=y(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$y'=p=\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{4y^2}+C}$

Вот и подставляйте первую строчку во вторую, чтоб найти $C$. А когда найдёте -- там под корнем полный квадрат вылезет.

---------------------------------------
Да, и уж для приличия: про плюс-минусы -- тоже всё-таки не забывайте.

[integral2009]

gris в сообщении #401322 писал(а):

Как то не так Вы интегрируете. Корень будет в другой стороне, перевёрнутый и интегрироваться по $y$. А кислород замену попробуйте. И ванны подстановку в уравнение сразу же двух начальных условий.

Да, спасибо, сделаю)

-- Вт янв 18, 2011 00:30:48 --

ewert в сообщении #401323 писал(а):

Вот и подставляйте первую строчку во вторую, чтоб найти $C$. А когда найдёте -- там под корнем полный квадрат вылезет.

---------------------------------------
Да, и уж для приличия: про плюс-минусы -- тоже всё-таки не забывайте.

Хорошо, спасибо, сделаю) Действительно минус должен быть один!

-- Вт янв 18, 2011 00:36:03 --

$y'=\sqrt{4y^2-\dfrac{1}{4y^2}+C}$

Подставляем начальные условия

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{4\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{4}+C}$

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2-\dfrac{1}{2}+C}$

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}= \sqrt{\dfrac{3}{2}+C}=\sqrt{\dfrac{3+2C}{2}}$

=> $3+2C=1$=> $C=-1$

=========================

$y'=\sqrt{4y^2-\dfrac{1}{4y^2}-1}$

$y'=\sqrt{\dfrac{16y^4-4y^2-1}{4y^2}}$

[ewert]

Ну, во-первых, Цэ -- это далеко не единица. И во-вторых -- Вы зачем-то там все знаки решительно перепутали (откуда и Цэ -- вовсе не Цэ).

[integral2009]

ewert в сообщении #401333 писал(а):

Ну, во-первых, Цэ -- это далеко не единица. И во-вторых -- Вы зачем-то там все знаки решительно перепутали (откуда и Цэ -- вовсе не Цэ).

Так у меня получилось $C=-1$, а не $1$

Может у вас $C=-\dfrac{1}{2}$

Я просто в том месте, где появилась константа, написал $C/2$

Сейчас еще раз подумаю над знаками!

[gris]

Под корнем нет минусов! А Вы написали $4y^2-...$