Вычисление рекуррентной функции на maple.

[Korolyov.Pavel]

Всем привет!
Помогите мне пожалуйста разобраться с одной задачей:

$$U=\frac{1}{M}\int\limits_{-A}^{A}\int\limits_{0}^{L} \frac{1}{2}\big{(}rb\sqrt{V^2+w^2l^2}(c_xwl+c_yV)\big{)} \right)\ w \right)\cos(\alpha)\right)\ dl \right)\ d\alpha $$

$$E=b\int\limits_{-A}^{A}\big{|}\int\limits_{0}^{L}\big{(}\frac{1}{2}l r \sqrt{V^2+w^2l^2}(c_xwl+c_yV)+r_wl^2w\frac{dw}{d\alpha}\big{)}dl\big{|}d\alpha $$

$U$ - это приобретаемая скорость.

$E$ - это энергия затрачиваемая на операцию, в ходе которой достигается скорость равная $U$.

$w$ зависит от $\alpha$.
Все параметры кроме $w$ - константы.

Нужно найти такую зависимость $w(\alpha)$ при которой $U$ была бы максимальной, а $E$ - минимальной.

Про вид функции $w(\alpha)$ можно сказать что она определена на участке от $-A$ до $A$. И в этих краевых точках равна $0$. Симметрична относительно $\alpha=0$, и на всём промежутке от $-A$ до $A$ имеет положительное действительное значение.

Как это можно сделать в Maple?

Что я надумал:

Нужно ввести некую функцию, которая объединяла бы в себе $U$ и $E$. Например $Q=\frac{U}{E}$ И найти $w(\alpha)$ при которой $Q$ будет максимальной.
Скорее всего найти решение в общем виде не получится. Поэтому можно попробовать разбить $w(\alpha)$ на $k$ равных участков на каждом из которых $w$ будет постоянна. Используя рекуррентные соотношения можно получить $k$ значений $w$. После этого выстраивая эти точки на оси координат получить кусочную функцию $w(\alpha)$. После этого интерполяционно получить общий вид $w(\alpha)$.

Но если кто может подсказать ход решения в котором можно получить общий вид функции - то это будет круто.

Что скажете?

[GAA]

Уточните задачу (в частности, укажите, что есть $Q_n$). Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения. После редактирования напишите заявку на возвращение в теме Сообщение в карантине исправлено. Тему вернут в «Околонаучный софт».

[Toucan]

Вернул.

[GAA]

На мой взгляд, задача не сформулирована.
Действительно, пусть для простоты $r=1$, $b=1$, $c_x=1$, $V=0$, $M=1$. Если еще и $r_w =0$, то
$U=\frac{L^3}{3}\int_0^A w^3(\alpha) \cos \alpha \, d\alpha$, $ E=\frac{L^4}{4}\int_0^A w^2(\alpha) \, d\alpha$
Если, например, положить $w(\alpha) = C\cos\left(\frac{\pi}{2}\frac{\alpha}{A} \right)$, $C > 0$, $0<A< 2\pi$, то и числитель и знаменатель положительны и растут с ростом $C$, причем числитель — как $C^3$, а знаменатель — как $C^2$. Следовательно, дробь не ограничена. (Конечно, можно взять другую подходящую функцию, например, положить $w(\alpha) = C(1-(\alpha/A)^2)$ для не очень больших $A$ (приблизительно $A< 6$) результат будет тем же).

Почти также легко получить и при $r_w = 1$ качественно тот же результат: числитель растет как $C^3$, знаменатель — как $C^2$.

Грубо говоря, «главный» член $U$ пропорционален $w^3$, а $E$ — $w^2$, поэтому дробь неограниченна.

Возможно, имеет смысл зафиксировать $U$, (т.е. поставить условие $U=const$) и тем самым прийти к вариационной задаче на условный экстремум; тогда стоит смотреть учебники по вариационному исчислению.

[Korolyov.Pavel]

Нельзя приравнивать $r_w$ к нолю. Тогда последнее слагаемое в интеграле для Энергии будет равняться нулю. В моё случае это не так, и это слагаемое наверняка будет вносить значительный вклад.

Можно ли сделать так как я сказал: разбить всю функцию на промежутке пределов интегрирования на множество участков, на каждом из которых $w(\alpha)=const$?

Возможно так же стоит выбрать $Q=\frac{U^2}{E}$ в таком случае это будет отношение энергий, и если принять Q равное допустим 0.5, то проделать всё вышеописанное будет проще.

А ешё кто-нибудь знает как высчитывать рекуррентные формулы в maple'е?

[GAA]

Проделайте то, о чем я писал выше, и Вы увидите, что и при $r_w \ne 0$ дробь будет неограниченной.

Korolyov.Pavel в сообщении #402761 писал(а):

Можно ли сделать так как я сказал: разбить всю функцию на промежутке пределов интегрирования на множество участков, на каждом из которых $w(\alpha)=const$?

Нельзя, поскольку решение задачи не существует.

Допустим, положили $U^2/E = 1/2$. Что «вышеописанное с ним надо проделать»?

[Korolyov.Pavel]

Хорошо.
Вижу что неограничена.

Я строил график для $Q(w)$ при фиксированном $\alpha$ - получилась гипербола в первой четверти.

Ладно а что в таком случае можно сделать?

[GAA]

В таком случае следует точно сформулировать задачу, либо подробно описать откуда она берется (возможно, Вам помогут её точно сформулировать).