Какие три функции координат образуют векторное поле?

[Vallav]

Ales в сообщении #388857 писал(а):

paha в сообщении #388851 писал(а):

Vallav в сообщении #388848 писал(а):

По Вашим формулам получается координатное представление
градиента в сферических координатах?

разумеется
но чтобы это увидеть надо уметь дифференцировать

Для Vallav градиент - вектор, который преобразуется из Вашего ко-вектора поднятием индексов с помощью метрики.

Не, для меня градиент - это одна из характеристик рассматриваемой
системы а не характеристика способа рассмотрения рассматриваемой системы.
Градиент - вектор по построению, так как это еденичный вектор, по которому
производная максимальна умноженный на величину этой производной.

-- Вс дек 19, 2010 12:21:00 --

paha в сообщении #388860 писал(а):

Ales в сообщении #388857 писал(а):

Для Vallav градиент - вектор, который преобразуется из Вашего ко-вектора поднятием индексов с помощью метрики.

я в курсе (объяснили бы Вы это ему, что без подъема индексов -- без метрики - не обойтись)

Без метрики ни градиент ни дивергенцию не определить в координатном
представлении.
Потому как и там и там нужны расстояния между точками а не разность координат.

[paha]

Vallav в сообщении #389070 писал(а):

Без метрики ни градиент ни дивергенцию не определить в координатном
представлении.
Потому как и там и там нужны расстояния между точками а не разность координат.

Спасибо всем за обсуждение. Методически правильно, конечно, так.

Пусть $f:M\to\mathbb{R}$ -- гладкая функция (скалярное поле).
Ее дифференциал -- это 1-форма $df\in Hom(TM,\mathbb{R})\simeq \Gamma(T^*M)$ -- ковекторное поле.

Если $M$ -- риманово многообразие (выделен положительно определенный симметрический 2-тензор $g:TM\times TM\to\mathbb{R}$), то определим векторное поле ${\rm grad}\,f$, называемое градиентом скалярного поля $f$ равенством

$$ df(V)=g({\rm grad}\, f,V),\quad \forall V\in TM. $$

Пример. Рассмотрим область $V\subset\mathbb{R}^3$ и вычислим дифференциал в сферических координатах. В качестве ортонормированного базиса в $T_pV$ (точка $p\in V$ имеет координаты $(r_0,\theta_0,\varphi_)$ выберем $e_r,e_\theta,e_\varphi\in T_pM$ -- касательные вектора к координатным линиям сферической системы координат.
В этом случае

$$ df(e_r)(p)=\frac{\partial f}{\partial r},\quad df(e_\theta)(p)=\frac{1}{r_0}\frac{\partial f}{\partial \theta},\quad df(e_\varphi)(p)=\frac{1}{r_0\sin{\theta_0}}\frac{\partial f}{\partial \varphi},\quad $$

откуда

$$ {\rm grad}\, f(p)=\frac{\partial f}{\partial r}e_r+\frac{1}{r_0}\frac{\partial f}{\partial \theta}e_{\theta}+\frac{1}{r_0\sin{\theta_0}}\frac{\partial f}{\partial \varphi}e_\varphi $$

Дивергенция же векторного поля $A:M\to TM$ определяется инвариантно как

$$ {\rm div}\, A(p)=\lim_{V\to\{p\}}\frac{\int_{\partial V}A\lrcorner\omega}{\int_V\omega}, $$

или ${\rm div}\,A\cdot\omega=d(A\lrcorner \omega)$, или ${\rm div}\,X={\rm Tr} \nabla X$, где $\omega$ -- элемент риманова объема, $\nabla X(Y)=\nabla_YX$ -- связность Леви-Чивиты.

Заметим, что для определения дивергенции векторного поля нужна только форма объема, но не сама риманова метрика.
Дивергенцию тензоров произвольного ранга можно определить формулой аналогичной ${\rm div}\,X={\rm Tr} \nabla X$, но она уже не будет, кажется, выражаться через форму объема. Впрочем, я на практике никогда с этим не талкивался.

[Vallav]

То есть, итог такой - градиент скалярной функции - векторное поле?

[Munin]

paha
Зачем разносить понятия дифференциала скалярной функции, и градиента? Это, мне кажется, создаёт только лишние неудобства: различия между этими понятиями получаются тонки, и часто несущественны, чтобы их запоминать, и выдерживать правильное употребление терминов. Мне бы, например, было удобно называть градиентом дифференциал в том числе и в векторных пространствах без нормы и произведения. (При этом, градиент удобно брать и от тензорных функций разного ранга.)

По поводу дивергенции тензоров произвольного ранга - видимо, надо уточнять, по какому из индексов тензора будет браться след, так что дивергенций можно взять несколько разных.

[paha]

Vallav в сообщении #389179 писал(а):

То есть, итог такой - градиент скалярной функции - векторное поле?

что назовете градиентом - то и будет

-- Пн дек 20, 2010 00:41:29 --

Можете вот это:

Vallav в сообщении #389070 писал(а):

Градиент - вектор по построению, так как это еденичный вектор, по которому
производная максимальна умноженный на величину этой производной.

в виде формулы (в произвольной системе координат)?

[Vallav]

paha в сообщении #389226 писал(а):

Vallav в сообщении #389179 писал(а):

То есть, итог такой - градиент скалярной функции - векторное поле?

что назовете градиентом - то и будет

Вы уверены?
Полагаете, общепризнанного понятия в физике за словами "градиент
скалярной функции" нет?
В разных разделах физики под этим понимается разное?

paha в сообщении #389226 писал(а):

Можете вот это:

Vallav в сообщении #389070 писал(а):

Градиент - вектор по построению, так как это еденичный вектор, по которому
производная максимальна умноженный на величину этой производной.

в виде формулы (в произвольной системе координат)?

А можете что еще?
Пока не из чего выбирать...

[paha]

Vallav в сообщении #389290 писал(а):

можете что еще?
Пока не из чего выбирать...

очень жаль

[Vallav]

paha в сообщении #389301 писал(а):

Vallav в сообщении #389290 писал(а):

можете что еще?
Пока не из чего выбирать...

очень жаль

Вам жаль, что Вы не можете предложить альтернативу для градиента?
А Ваше - "что назовете градиентом - то и будет" - тогда что именно
означает?

[paha]

Vallav в сообщении #389319 писал(а):

Вам жаль, что Вы не можете предложить альтернативу для градиента?

я не предлагал альтернатив

в сообщении #389130 я написал как на мой взгляд методически правильно определять градиент и дивергенцию (через дифференциал и форму объема соответственно)

И попросил Вас математически формализовать вот это:

Vallav в сообщении #389070 писал(а):

Градиент - вектор по построению, так как это еденичный вектор, по которому
производная максимальна умноженный на величину этой производной.

т.е. записать формулой, а не словами

Жаль, Вы не сподобились:(

-- Пн дек 20, 2010 11:29:17 --

Vallav в сообщении #389319 писал(а):

что назовете градиентом - то и будет

в некоторых учебниках градиентом называют именно дифференциал, т.е. ковектор, а в некоторых -- соответствующий вектор, полученный поднятием индеков с помощью метрического тензора
поэтому я и говорю: что назовете, то и будет

[ewert]

Vallav в сообщении #389070 писал(а):

Градиент - вектор по построению, так как это еденичный вектор, по которомупроизводная максимальна умноженный на величину этой производной.

Это не по построению. Заранее совершенно не очевидно, что этот максимум единственен. Это уже потом, после того как производная по направлению определена и выражена через частные производные, вдруг выясняется, что градиенту можно придать ещё и геометрический смысл.

[nestoklon]

Munin в сообщении #388711 писал(а):

Скажите, а как с дивергенцией векторного поля соотносится ${}\mathbin{*}d\mathbin{*}\omega,$ то есть нельзя ли её через это как-то записать?

Меня когда-то простота этого подхода к векторному анализу поразила, я разобрался. Это у Арнольда в книжке хорошо написано. Скалярному полю можно сопоставить 0-форму, векторному полю 1-форму, в 3-мерном пространстве и 2-форму. Дифференциал будет соответственно 1, 2(~1) и 3(~0)-формами, которым обратно сопоставляются скалярное/векторное поле. Это и есть градиент, ротор и дивергенция, которые в этом подходе соответствуют одной и той же операции.
Самый кайф в том, что все формулы Гаусса-Остроградского-Стокса-[кто там ещё был] -- это одна и та же формула про то, что интеграл от производной внешней формы по объёму равен интегралу внешней формы по границе этого объёма.

[Munin]

nestoklon в сообщении #399751 писал(а):

Это у Арнольда в книжке хорошо написано.

В которой? Арнольд - не автор одной книжки.

Остальное, что вы перечисляете, я знаю уже.

[Bulinator]

Munin в сообщении #399801 писал(а):

В которой? Арнольд - не автор одной книжки.

Математические методы классической механики.

[Munin]

Bulinator
Такое ощущение, что Арнольд зря писал остальные книжки: все читали только эту одну. А я вот не теряю надежды справиться с его книжками по каустикам и по симплектической геометрии; или по крайней мере разобраться достаточно, чтобы понять, что они мне не нужны...

[Bulinator]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #399854 писал(а):

Такое ощущение, что Арнольд зря писал остальные книжки: все читали только эту одну.

Ну почему же? Я например еще увлекался эргодическими теориями. Есть еще брошюрка про кватернионы... Листал про теорию катастроф.

Однако говорят, что каждый гений создает только один шедевр. По-моему, эта книжка Владимира Игоревича и есть тот самый шедевр.