Задача про часы

[glorius_May]

Существует ли в сутках момент, когда расположенные на общей оси часовая, минутная и секундная стрелки правильно идущих часов образуют попарно углы в 120 градусов?

[caxap]

Если $t$ -- время в секундах, прошедшее от 0:00, то, по-моему, нужно, чтобы $\frac {59}{60}t=\pm 40\pmod {60}$ и $\frac {719}{720}t=\mp 40 \pmod {60}$.

Если я не напутал, для этого нужно, чтобы имело решение $2124 k = 2157 m \pm 2854$ для $k,m\in\mathbb Z$. Его нет.

[Профессор Снэйп]

Откуда сравнения? Я так понял, стрелки двигаются непрерывно.

-- Чт янв 13, 2011 05:59:21 --

Положим часы на комплексную плоскость циферблатом вниз так, чтобы ось вращения стрелок находилась над $0$, а отметка в $12$ часов на циферблате над $1$. Пусть с начала суток прошло $6 t/\pi$ часов. Тогда часовая, минутная и секундная стрелки указывают на числа $e^t$, $e^{12 t}$ и $e^{720 t}$ соответственно. Если все три попарных угла между стрелками равны $2\pi/3$, то эти числа, будучи возведёнными в куб, должны совпадать: $e^{3t} = e^{36 t } = e^{2160 t}$. Отсюда $e^{33 t} = e^{2157 t} = 1$. Значит, $1 = e^{2157t } / (e^{33 t})^{65} = e^{12 t}$ и $1 = (e^{12 t})^3 / e^{33 t} = e^{3t}$. Но тогда $e^{12 t} = (e^{3t})^4 = 1$ и $e^{720 t} = (e^{12 t})^{60} = 1$, так что угол между минутной и секундной стрелками равен $0$. Противоречие.

-- Чт янв 13, 2011 06:04:58 --

Ровно в полночь в бассейне $100000$ литров воды. К часам присоединён насос. В моменты, когда секундная стрелка движется от минутной к часовой, насос подаёт в бассейн воду со скоростью $1$ литр в секунду, а когда секундная стрелка движется от часовой к минутной, откачивает из бассейна воду с той же скоростью. Сколько литров воды будет в бассейне в полдень?

[TOTAL]

Профессор Снэйп в сообщении #399123 писал(а):

Ровно в полночь в бассейне $100000$ литров воды. К часам присоединён насос. В моменты, когда секундная стрелка движется от минутной к часовой, насос подаёт в бассейн воду со скоростью $1$ литр в секунду, а когда секундная стрелка движется от часовой к минутной, откачивает из бассейна воду с той же скоростью. Сколько литров воды будет в бассейне в полдень?

Если две какие-то стрелки занимают одинаковое положение (в такие моменты переключается насос) в $X$ часов, то они же занимают одинаковое положение и в $12-X$ часов. Поэтому к полдню количество воды в бассейн не изменится.

[Профессор Снэйп]

Шота я не понял аргумента.

Первую минуту после полуночи мы всё время качаем воду в бассейн. И в последнюю минуту перед полуднем тоже всё время качаем в бассейн, всю минуту целиком. Откуда равенство берётся, что сокращается?

[TOTAL]

Профессор Снэйп в сообщении #399321 писал(а):

Шота я не понял аргумента.

Первую минуту после полуночи мы всё время качаем воду в бассейн. И в последнюю минуту перед полуднем тоже всё время качаем в бассейн, всю минуту целиком. Откуда равенство берётся, что сокращается?

Если в первую минуту качаем, то в последнюю минуту выкачиваем. Полная симметрия.

[Батороев]

TOTAL в сообщении #399685 писал(а):

Если в первую минуту качаем, то в последнюю минуту выкачиваем. Полная симметрия.

Присоединяюсь. От полуночи до полудня перемещение минутной стрелки относительно часовой составляет 11 полных оборотов. Скорость минутной стрелки относительно часовой - постоянна. Следовательно, суммарное время "опережения" равно суммарному времени "отставания".

[TOTAL]

Батороев в сообщении #399695 писал(а):

Следовательно, суммарное время "опережения" равно суммарному времени "отставания".

Что такое время "опережения" и время "отставания" и какое отношение они имеют к задаче?

[Батороев]

TOTAL в сообщении #399699 писал(а):

Что такое время "опережения" и время "отставания" и какое отношение они имеют к задаче?

Если рассматривать перемещение минутной стрелки относительно часовой, то время "опережения" - это время перемещения минутной стрелки от $0^0$ до $180^0$, а время "отставания" - от $180^0$ до $360^0$.

Т.к. перемещение секундной стрелки - суть время, поэтому в задаче фактически спращивается, каково соотношение времени "отставания" и времени "опережения"?

[TOTAL]

Батороев в сообщении #399705 писал(а):

TOTAL в сообщении #399699 писал(а):

Что такое время "опережения" и время "отставания" и какое отношение они имеют к задаче?

Если рассматривать перемещение минутной стрелки относительно часовой, то время "опережения" - это время перемещения минутной стрелки от $0^0$ до $180^0$, а время "отставания" - от $180^0$ до $360^0$.

Т.к. перемещение секундной стрелки - суть время, поэтому в задаче фактически спращивается, каково соотношение времени "отставания" и времени "опережения"?

В задаче либо секундная стрелка движется от часовой к минутной, либо от минутной к часовой. При чём здесь эти времена "отставания"?

[Батороев]

Давайте рассмотрим так:

Имеются часы, на которых за 12 часов некая первая стрелка, двигаясь равномерно, совершит 11 полных оборотов (в данном случае мы рассматриваем относительное движение минутной стрелки относительно часовой (отметка "0")). Вторая стрелка (секундная стрелка) движется быстрее первой, но также равномерно. Время, за которое вторая стрелка будет перемещаться от "0" до первой стрелки и время, за которое она переместится от первой стрелки до "0" зависят от пути, пройденного первой стрелкой. Таким образом, все фактически сводится к расчету пути, проходимого первой стрелкой.

[TOTAL]

Батороев в сообщении #399720 писал(а):

Таким образом, все фактически сводится к расчету пути, проходимого первой стрелкой.

Путь, проходимый первой стрелкой, рассчитан и равен 11 оборотам. Как отсюда следует ответ?

[Батороев]

Ответ следует из того, что совершено 11 ПОЛНЫХ оборотов.

[TOTAL]

Батороев в сообщении #399743 писал(а):

Ответ следует из того, что совершено 11 ПОЛНЫХ оборотов.

В задаче спрашивалось не о количестве полных оборотов.

[Профессор Снэйп]

TOTAL в сообщении #399685 писал(а):

Полная симметрия.

Ну да. Подумав, всё же соглашусь. Если запустить часы в обратную сторону (или заснять их ход на киноплёнку и прокрутить в обратном направлении), будет зеркально отражённая стандартная картина.

TOTAL в сообщении #399709 писал(а):

В задаче либо секундная стрелка движется от часовой к минутной, либо от минутной к часовой.

Кстати, по хорошему, ещё корректность надо доказывать. Почему не может быть так, что секундная стрелка, миновав часовую, делает полный оборот с маленьким гаком и упирается опять же в часовую, не пересекая по ходу минутной?

-- Пт янв 14, 2011 15:31:51 --

То, что все три встречаются вместе только в полдень и в полночь, доказано в начале темы.