Вещественные унитарные пространства. Инвариантное подпростр.

[Bars]

Существует следующая теорема.
"Пусть V - конечномерное пространство над R (поле вещественных чилес), а A - линейное преобразование. Тогда в V есть A-инвариантное подпространство U размерности 1 или 2"
(имеется в виду, что размерность V > 0). В доказательстве строится базис U. В случае dim(U)=2 этот базис обозначается через a,b.
До этого момента я разобрался. Далее следует замечание о том, что a и b обязательно ортогональны. В доказательстве ошибка, а самостоятельно доказать не получается. Собственно вопрос в том, как доказать, что a и b действительно ортогональны. (Простите за монолит. Ещё не освоил TeX).

Идея доказательства должна была заключаться в следующем. x - собственный комплексный (с комплексными коэффициентами) вектор преобразования A (имеется в виду обобщение A на пространство CV, т. е. все линейные комбанации базиса V с коэффициентами из C), то ортогонален вектору, сопряженному с x (покоординатное сопряжение). Почему это так - непонятно. Из этого легко получается, что (a,b)=0 (ортогональность).

В доказательстве первой теоремы: x = a + ib.

[Padawan]

А при чем тут вообще метрика? Откуда она берется?

[Bars]

Padawan в сообщении #396252 писал(а):

А при чем тут вообще метрика?

Тут разве метрика используется? Пространство V унитарное, значит есть скалярное произведение, значит есть ортогональные векторы, если вы про это.

[ewert]

Bars в сообщении #396250 писал(а):

Собственно вопрос в том, как доказать, что a и b действительно ортогональны.

Не знаю, как, поскольку Вы ничего толком не сказали про эти a и b. Но вот что очевидно. Если есть вещественное собственное число, то соответствующий (вещественный) собственный вектор порождает одномерное инвариантное подпространство. В противном случае обязательно найдётся пара взаимно сопряжённых собственных чисел и пара соответствующих им (опять же взаимно комплексно сопряжённых) собственных вектора $\vec a$ и $\vec a^*$ (здесь звёздочка обозначает комплексное сопряжение, т.к. чёрточка как-то не очень уместна). Их линейная оболочка -- это двумерное инвариантное подпространство в комплексном пространстве. Но в этой линейной оболочке можно выбрать и базис из вещественных векторов -- ими будут векторы $\vec b_1=\mathop{\mathrm{Re}}\vec a={1\over2}(\vec a+\vec a^*)$ и $\vec b_2=\mathop{\mathrm{Im}}\vec a={1\over2i}(\vec a-\vec a^*)$. Так вот, вещественная линейная оболочка векторов $\vec b_1,\,\vec b_2$ и будет вещественным двумерным инвариантным подпространством. Собственно, это практически полное доказательство.

А при чём тут скалярное произведение -- я тоже не знаю.

[Bars]

ewert в сообщении #396257 писал(а):

$\vec b_1=\mathop{\mathrm{Re}}\vec a={1\over2}(\vec a+\vec a^*)$ и $\vec b_2=\mathop{\mathrm{Im}}\vec a={1\over2i}(\vec a-\vec a^*)$

Именно эти векторы я и имел в виду. Только вот мне бы ортогональность доказать... Иначе, не будет выполняться очень важное следствие о том, что V раскладывается в прямую ортогональную сумму

-- Пт янв 07, 2011 16:48:46 --

ewert в сообщении #396257 писал(а):

А при чём тут скалярное произведение

Векторы a и b называются ортогональными, если (a,b)=0

[ewert]

Bars в сообщении #396260 писал(а):

Именно эти векторы я и имел в виду. Только вот мне бы ортогональность доказать... Иначе, не будет выполняться очень важное следствие о том, что V раскладывается в прямую ортогональную сумму

А они и не будут ортогональны: $(\vec a+\vec a^*,\vec a-\vec a^*)=\sum(a_k+a_k^*)(a_k^*-a_k)=-4i\sum\mathop{\mathrm{Re}}a_k\cdot\mathop{\mathrm{Im}}a_k$, и с какой стати это ноль-то даст?...

Это с одной стороны. С другой -- пусть конкретно они и не ортогональны, но никто же не может запретить их ортогонализовать.

Ну и с третьей: если Вам нужна ортогональность между подпространствами, то чем тут может помочь ортогональность внутри каждого подпространства?...

[Bars]

ewert в сообщении #396264 писал(а):

А они и не будут ортогональны

Можно в таком случае контрпример придумать: матрицу преобразования и базис?

[mihailm]

первая строка 2 -2 вторая 1 0

Но проще скалярное произведение так изменить чтобы вектора перестали быть ортогональными

[ewert]

Bars в сообщении #396282 писал(а):

Можно в таком случае контрпример придумать: матрицу преобразования и базис?

Пожалуйста:
$\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix},\quad\lambda=2\pm i\ \longleftrightarrow\ \vec a=\begin{pmatrix}2\\1\pm i\end{pmatrix}.$
Вещественная часть столбца, очевидно, не ортогональна мнимой.

-- Пт янв 07, 2011 16:25:47 --

Не исключено, что условие теоремы недоформулировано. Возможно, имелось в виду, что оператор не просто линеен, но ещё и унитарен. Тогда действительно вещественная и мнимая части собственного вектора взаимно ортогональны (по довольно очевидной причине -- всё сводится просто к повороту или отражению в плоскости, а с ними всё ясно). И, кстати, в этом случае и разные инвариантные подпространства тоже взаимно ортогональны (точнее говоря, могут быть выбраны взаимно ортогональными, вообще говоря). А в неунитарном случае -- всё это увы.

[Bars]

ewert в сообщении #396288 писал(а):

$\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix},\quad\lambda=2\pm i.$

Действительно. Получается, в этом случае $ a = ( 1, -1 ), b = ( 0, 1 ) $, а матрица в этом базисе имеет вид $\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}$. А ( a, b ) = -1.

[Bars]

А дело всё было в том, что $ a \perp b $ только для НОРМАЛЬНЫХ преобразований.
Предыдуший пример не удовлетворяет этому условию.
Ответ я нашел в учебнике А.И.Мальцева "Основы линейной алгебры" $ \S $18 стр 222.

[Padawan]

(Оффтоп)

Bars в сообщении #398284 писал(а):

Ответ я нашел в учебнике А.И.Мальцева "Основы линейной алгебры" $ \S $18 стр 222.

Хороший учебник, я по нему учился.