Помогите пожалуйста доказать.

[untoter]

Пусть f равномерно непрерывная функция на R. Доказать, что существует a>=0, b>=0, такие, что для любого х из R |f(x)|=<a|x|+b

[ewert]

Сформулируйте на языке эпсилон-дельта, что означает отсутствие равномерной непрерывности. И что означает нарушение доказываемой оценки Потом докажите, что из второго следует первое.

(а оно следует, т.к. нарушение того неравенства означает, что на оси найдутся отрезки со сколь угодно большими "средними наклонами")

[untoter]

Спасибо, но можно по подробнее? С языком эпсилон-дельта не дружу...

[ewert]

А нет, всё гораздо проще. Напишите на языке эпсилон-дельта стандартное определение просто равномерной сходимости (что поделать, это-то уж точно надо, нельзя же доказывать, совершенно на равномерную непрерывность не ссылаясь). Это мгновенно Вам даст требуемую оценку, во всяком случае, по всем точкам $x_k=\varepsilon\cdot k,\ k\in\mathbb Z$ -- а значит, и по всем числам вида $x=\varepsilon\cdot k+\theta,\ k\in\mathbb Z, \theta\in[0;\varepsilon]$, т.е. по вообще всем.

[untoter]

Прощу прощения(да я глупый), вот определение: для любого эпсилон>0 существует дельта>0: |x-x0|<дельта => |f(x)-f(x0)|< эпсилон. Верно ли это, и как связать это с требуемой оценкой?

[maxmatem]

Цитата:

вот определение: для любого эпсилон>0 существует дельта>0: |x-x0|<дельта => |f(x)-f(x0)|< эпсилон. Верно ли это, и как связать это с требуемой оценкой?

Кривовато....
Лучше так
$\[ \forall \varepsilon > 0\,\exists \delta (\varepsilon ) > 0\,:(\forall x_1 ,x_2 \in R\,)\& (|x_1 - x_2 | < \delta (\varepsilon )) \Rightarrow |f(x_1 ) - f(x_2 )| < \varepsilon \] $

untoter
Знаете как отрицание к этому определению написать?

[Padawan]

Пусть $\varepsilon=1$. Для него найдётся $\delta$. Возьмите $x$. На сколько равных частей надо разделить отрезок от $0$ до $x$, чтобы длина каждого части не превосходила $\delta$ ? Оцените разность $|f(x)-f(0)|$.

[untoter]

Цитата:

Знаете как отрицание к этому определению написать?

Если честно, то затрудняюсь.

[ewert]

Padawan в сообщении #397281 писал(а):

Пусть $\varepsilon=1$. Для него найдётся $\delta$. Возьмите $x$. На сколько равных частей надо разделить отрезок от $0$ до $x$, чтобы длина каждого части не превосходила $\delta$ ? Оцените разность $|f(x)-f(0)|$.

Проще чуть по-другому. Зафиксировать эпсилон (ну хоть бы и единичный, не важно), дельту по нему и для каждой пары $(k,\theta)$, где $k=0,1,2,\ldots$ и $\theta\in[0;\delta]$ оценить $f(\k\cdot\delta+\theta)$ сверху черех $k$ и максимум $|f(\theta)|$.