Функция двух переменных

[physchemist]

Имеется некоторая функция
$z=f(x,y),$
заданная формулой. Первая часть задачи - найти уравнения линий $y=f(x)$, на которых $z=0$. Эту часть я выполнил: она сводится к решению кубического уравнения. В результате получается совокупность трёх линий - см. рисунок.

Линии не обязательно сходятся в начале координат - это просто частный случай. Красная и зелёная линии уходят вниз до бесконечности. Вторая часть задачи состоит в доказательстве того, что $z$ отрицательно внутри области, ограниченной этими линиями, и положительно - вне её (а не наоборот). Как это сделать? В голову приходят только бессвязные мысли о производной по направлению нормали к кривой, но это бред, наверно.

[caxap]

(Мнение прохожего)

$z=f(x,y)$ -- это же какая-то поверхность (непрерывная?). Вы построили сечение её плоскостью $z=0$, а значит внутри $z$ будет больше (меньше) нуля, а вне -- меньше (больше).

[physchemist]

caxap
Понятно, что внутри и вне области, ограниченной этими линиями, z имеет разные знаки. Вопрос в том, КАКОЙ знак внутри. Численный расчёт показывает, что внутри z отрицательно. Но как доказать это аналитически, имея уравнения этих трёх линий и формулу самой функции?

[ewert]

physchemist в сообщении #397111 писал(а):

Вторая часть задачи состоит в доказательстве того, что $z$ отрицательно внутри области, ограниченной этими линиями, и положительно - вне её (а не наоборот). Как это сделать?

Просто подставить любую точку, лежащую внутри области, любую -- вне её и посмотреть получающиеся знаки. Из непрерывности следует, что знак не может измениться нигде, кроме как на границе области.

[physchemist]

ewert
Спасибо.