Разрывные функции: возрастание, экстремумы

[Katarina]

Задача. Верно ли утверждение: Если y=f(x) возрастает на [a;b] и возрастает на [b;c], то она возрастает и на [a;c]?

Мое решение:
Верно. Для доказательства возьмем х1, х2 - произвольные точки отрезка [a;c]. Докажем, что если х1<х2, то f(x1)<f(x2).
Возможны случаи: 1) х1, х2 из отрезка [a;b] 2) х1, х2 из отрезка [b;c] (в этих случаях требуемое следует из того, что по условию функция возрастает на этих отрезках).
3) х1 из [a;b), х2 из (b;c]. Тогда f(x1)<f(b), f(b) <f(x2) , и по транзитивности получаем f(x1)<f(x2).

Преподаватель считает это решение ошибочным, так как в условии задачи не сказано, что функция непрерывна, а в общем виде, считая, что функция может быть разрывна, ответ на вопрос задачи по его мнению должен быть "НЕВЕРНО". Для получения зачета мне надо привести пример нужной РАЗРЫВНОЙ функции и ОБЪЯСНИТЬ, ссылаясь на определения.

Затруднение у меня в следующем: наверное, для разрывных функций используют какое-то другое определение возрастающей функции ?
Я пользовалась таким: функция называется возрастающей на множестве Х (у нас - отрезок), если для любых двух х1 и х2 из Х (то есть конец отрезка можно брать?) при х1<х2 следует f(x1)<f(x2).
Может, должно оговариваться, что х1, х2 только из ИНТЕРВАЛА, а не из отрезка?

Я пробовала построить разрывную функцию так: у= {(х, если -1<=х<=1); (х-2, если 1<x<=3) }. Она определена на отрезке [-1;3], и по обычному определению возрастает на [-1;1]. Но на мой взгляд, она НЕ возрастает на [1;3], так как если взять х=1 (принадлежит ОТРЕЗКУ), то обычное определение неверно: f(1)>f(2), например.
Будет ли верно так построить функцию, если найти корректное объяснение?

Нет ли какого-то иного определения возрастающей функции, которому этот случай бы удовлетворял?

Идея такого построения функции пришла потому, что в лекциях этого же преподавателя нашла такой момент:

Верно ли утверждение: Если y=f(x) возрастает на (a-b;a] и убывает на [a;a+b) (b>0), то b - точка максимума?
Ответ: НЕВЕРНО, и приведена функция
y={(2-x2, если -1<x<0, 0<х<1), (0, если х=0)}.
*запись х2 означает вторую степень числа х.
Но, на мой взгляд, тут нарушаются определения возрастания и убывания на полуинтервале, ведь f(-0,5)>f(0), f(0)<f(0,5).
Думала, он имел в виду (a-b;a) строго, переспросила, нет, говорит, все верно.

Я не сомневаюсь, что преподаватель прав, но как тогда это соотнести с понятием возрастания и убывания?!

Пожалуйста, помогите разобраться!!!!

[Gortaur]

Насколько я знаю (по краней мере до реформы образования) Вы пользуетесь правильным определение возрастания (хотелось бы чтобы было оговорено, строгое оно или нет), а помещика преподавателя... ну словом, он не прав. Мое мнение - Ваше доказательство верное, а его контрпример не верен (я про случай максимума) - так как да, там идет нарушение возрастание на полуотрезке.

[Katarina]

Спасибо за быстрый ответ:)
Возрастание, кажется, строгое.
А если как неубывающая разве это в данном случае что-то меняет?
Мне, конечно, приятно, что мое доказательство названо верным:)
Но вот если бы за это еще и зачетик...:)
Может, существуют и другие точки зрения?

Еще такое: верно ли, что функция y={(x+1, если х<=0); (х-1, если х>0)} является нечетной?
В принципе, я уверена, что верно, просто хотелось еще раз проверить.
То есть для разрывных функций может не выполняться свойство нечетной функции f(0)=0, правда?

[Gortaur]

Почему? должно выполняться. Данная функция не является нечетной, потому что в нуле равна единице.

-- Сб янв 08, 2011 19:16:49 --

Любые свойства (четность, возрастание, неубывание) - определены одинаково для функций назависимо от их непрерывности или разрывности.

[gris]

Когда определяют монотонность функции на множестве, то предполагают, что функция определена в каждой точке этого множества.
Может быть Ваш преподаватель допускал, что функция может быть не определена в точке $b$? Например, $f(x)=\dfrac1{b-x}$.

Нечётность функции определяется на всей области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля. Если попробовать определить чётность\нечётность на подмножестве области определения, то Вашу функцию можно назвать нечётной на выколотой в нуле оси . Но я не знаю, делал ли так кто-нибудь.

[Katarina]

to Gortaur
>>Данная функция не является нечетной, потому что в нуле равна единице.
Разве в определении есть условие равенства значения функции в нуле обязательно нулю?
Определение:
Функция у = f (х) называется нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- х) = - f (x).
Иногда его формулируют так:
...если: 1) х принадлежит D, -х принадлежит D; 2) f (- х) = - f (x).

И все. Про значения ни слова.
Тут имеем: область определения - R, так что симметрична относительно 0, и f(-x)=-f(x).

-- Вс янв 09, 2011 16:11:32 --

to gris
>>Может быть Ваш преподаватель допускал, что функция может быть не определена в точке ?
Поскольку с примером максимума он такой случай рассматривал отдельно, то смею предположить, что гипербола тут не подходит. Раз функция определена на отрезке [a;b], то скорее всего в точке b она определена.
А с примером про точку максимума из лекций каково Ваше мнение?

[ewert]

Katarina в сообщении #396787 писал(а):

Верно ли утверждение: Если y=f(x) возрастает на (a-b;a] и убывает на [a;a+b) (b>0), то b - точка максимума?Ответ: НЕВЕРНО, и приведена функция y={(2-x2, если -1<x<0, 0<х<1), (0, если х=0)}.*запись х2 означает вторую степень числа х.

Ответ НЕВЕРЕН. Он был бы верен, если бы в формулировке вопроса оба интервала были бы открытыми.

Можно лишь предположить, что ваш преподаватель считает понятие монотонности относящимся лишь к внутренним точкам области определения (как, например, в случае дифференцируемости). Тогда хозяин -- конечно, барин, но и большой оригинал: трудно будет найти кого-нибудь ещё, придерживающегося той же точки зрения.

[gris]

Katarina, надо посмотреть, как преподаватель определяет возрастание/убывание фукции на множестве. Что то у вас там с концами отрезков и отдельными точками. И в случае с максимумом, и в случае с нечётностью.
Повторите, немного изменив, действие:

Katarina в сообщении #396787 писал(а):

Думала, он имел в виду (a-b;a), строго переспросила, нет, говорит, все верно.

[Katarina]

Всем спасибо за ответы!

to ewert
>>Можно лишь предположить, что ваш преподаватель считает понятие монотонности относящимся лишь к внутренним точкам области определения.

Это я предположила с самого начала (см. мой первый пост), но поскольку такого определения не нашла нигде в классических учебниках, то и обратилась за помощью на форум, думала, что какая-то модификация определения известна всем, кроме меня:)
Извините, пожалуйста, что отняла у Вас время.
Пообщаться с преподавателем еще раз попробую через недельку на зачете:)

-- Вс янв 09, 2011 18:08:18 --

to Gortaur
>>Данная функция не является нечетной, потому что в нуле равна единице.
Извините, пожалуйста, конечно же Вы правы!
Я не досмотрела, что условие f(-x)=-f(x) не выполнено:
f(-0)=1; -f(0)=-1.
Спасибо большое, что указали на мою ошибку, а то я бы так и сдала работу:)

[Gortaur]

Удачи! у меня тоже скоро сессия, как это надоело...

[Gortaur]

Вообще-то у Вас функция в нуле определена и там не обязательно проверять предел - достаточно лишь того, что ноль лежит в области определения функции и того, что функция в нуле не равна нулю.