теорема Иошизавы, диссипативные системы

[Xoma]

Помогите пожалуйста объяснить эту теорему
У меня написано так
Для того чтобы система $\dot{X}=F(X,t)$ была диссипативной необходимо и достаточно чтобы существовала такая функция $V(t,X)$ такая что
1)$V(t,X)\geqslant W(X)$,где $W(X)\to \infty$ при $||X||\to\infty$
2)$V(t,X)$ является невозрастающей функции на решениях $\dot{X}=F(X,t)$
Объясните пожалуйста:
1)Что вообще значит этот X и t???X-это матрица??а t
2)что это за функция $V(t,X)$? чем она отличается от $F(X,t)$? они ведь одинаковые там ведь просто X И t поменяли местами
3)Почему эта функция $V(t,X)$ должна быть больше или равно $W(X)$??и если W(x) стремится к беск то как тогда $V(t,X)$ может быть больше бесконечности.Никак не могу понять
4)и что значит $||X||\to\infty$?? норма X должна стремиться к беск??
Заранее благодарю

[Null]

Сильная теорема.
1)X - обычно столбец из функций $(x_1(t),\dots,x_n(t))^T$
1)V просто функция, разных функций что-ли мало. Например $f(x)=x$ $g(x)=x+1$
2)Потому что это условие теоремы. $f(x)\to\infty$ При $x\to \infty$,$g(x)>f(x)$ но g же не равна бесконечности.
3)Да норма стремиться к бесконечности.

[Xoma]

2)Почему у V и F под за скобками одинаковые слагаемые на разных местах стоят??Это что то значит?
И что значит норма X стрем к беск??Типа норма матрицы??А что такое норма матрицы??
И как вообще V может быть не возростающей если она стрем к беск??

[Null]

Ну так они написали.
Норма вектора, например его длинна.
это происходит по разным переменным.

[Xoma]

т.е там можно записать F(X,t) и V(X,t) и нечего не нарушится??
т.е все нормы столбиков(векторов)-длины должны стрем к беск??т.е размерность матрицы должна стремится к беск?как это представить геометрически??
Почему по разным там переменные X,t везде

-- Вт дек 28, 2010 22:17:07 --

Что вообще означает диссипативный системы?ограниченность?
а X с точкой это производная матрицы??Как её находят??и что это означает геометрически??

[Gortaur]

О ужас...
Так,
0. теорема и правда сильная.
Xoma - отвечая на Ваши вопросы
1. $X$ - вектор-функция, как Вам уже написали $X(t) = (x_1(t),...,x_n(t))$. норма $X$ можете считать

$$ ||X(t)|| = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x^2_i(t)}. $$

2. Я не знаю зачем там поменяли местами $X$ и $t$, но это совсем разные функции. А именно: $F$ - закон по которому развивается система, чьим состоянием является точка (вектор) $X$, она задана Вам изначально. $V$ - служебная функция, удовлетворяющая условиям теоремы - функция Ляпунова. Ее нужно найти чтобы показать что система диссипативна.

3. Данное условие обозначает, что есть такая функция $W(x)$ что для любого $t$ функция $V(x,t)\geq W(x)$. А если при этом $W(x)\to\infty$ при больших $x$, то это значит что $V(x,t)\to\infty$.

2'. Функция может быть невозрастающей на решениях - это значит, что $v(t):=V(t,X(t))$ невозрастающая.

Ваше утверждение про размерность матрицы несколько неосторожно, посмотрите на пример нормы который я написал. То, что она стремится к бесконечности означает, что точка $X$ удаляется от начала координат.

[Xoma]

Gortaur,большое спасибо за разъяснения,а что такое диссипативность ,вкратце не могли бы объяснить?

[Gortaur]

Насколько я понял из другой темы, Вам уже книгу посоветовали. Теперь что до "вкратце". Вы представляете как свзяаны дифуры и динамические системы? Что такое фазовый портрет и т.д.? Я понимаю, что у Вас сейчас идут просто дифуры а не теория систем - но данный геометрический подход очень хорош для понимания и догадок как и почему все происходит в учебниках. Если интересно - могу здесь написать, это не очень долго.

Что же до диссипативности, то как Вам уже тут (на форуме) говорили - это свойство системы такое, что стартуя из любой точки и развиваясь по закону, заданному дифуром траектория системы (=график решения) остается в какой-то ограниченной области.

(Оффтоп)

Хотя у меня такое чувство, что это верно и для устойчивых (не обязтельно асимптотически) систем, а теорема этого самого Иошизавы - так и вообще получается говорит что система диссипативна тогда и только когда она устойчива.

[moscwicz]

Gortaur в сообщении #393063 писал(а):

Хотя у меня такое чувство, что это верно и для устойчивых (не обязтельно асимптотически) систем, а теорема этого самого Иошизавы - так и вообще получается говорит что система диссипативна тогда и только когда она устойчива.

Cистема $\dot x=x(1-x^2)$ диссипативна, но имеет неустойчивое решение $x(t)=0$ ($t\ge 0$)