Функция Жуковского

[Xoma]

Добрый день.Помогите пожалуйста объяснить алгоритм решения
Дана область $0<arg(z)<\frac{\pi}{4},|z|<1$
Найти образ при отображении $w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$
Преподаватель сказал сделать замену $z=e^{i\varphi}$
Cделал а что делать дальше?Подставлять границы или рассматривать как композицию?
Объясните пожалуйста как вообще находить образы когда дана функция Жуковского
Интересует алгоритм,чтобы когда мне дали бы любую область я смог бы её правильно отобразить
Заранее благодарен.Просто нигде ни нашел нормального материала с решенными примерами с функцией Жуковского,а на комиссии могут что угодно спросить

[ewert]

Xoma в сообщении #391816 писал(а):

Добрый день.Помогите пожалуйста объяснить алгоритм решения
Дана область $arg(z)<\frac{\pi}{4},|z|<1$
Найти образ при отображении $w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$
Преподаватель сказал сделать замену $z=e^{i\varphi}$

Во-первых, условие некорректно -- неравенство для аргумента должно быть не только сверху, но и снизу. Вероятно, имелось в виду, что аргумент в том неравенстве берётся по модулю, но Вы уточните.

Во-вторых, да, нужна именно эта замена, но только для участка окружности -- сразу получается очень простая параметризация образа этой дуги через $\varphi$. А для отрезков лучей параметризация нужна, естественно, другая -- типа $z=t(1+i)$.

[Xoma]

Ой да извиняюсь там от 0 будет.Типа крыло такое
А что дальше делать с этой заменой?

[ewert]

Xoma в сообщении #391823 писал(а):

А что дальше делать с этой заменой?

Так, ещё раз. Подставьте её в Ваше выражение $w=w(z)$, $w=u+iv$ -- и получите параметрическое описание некоторой линии на плоскости $(u,v)$.

[Xoma]

А как определить что это будет за линия там ведь через фи будет у меня не получилось
что-то не совсем понял что делать с аргументом откуда там t появилась

[ewert]

Xoma в сообщении #391838 писал(а):

А как определить что это будет за линия там ведь через фи будет у меня не получилось

Так ведь Вы же ничего пока что ещё и не пробовали -- во всяком случае, здесь.