Равномерная сходимость ряда

[basic]

Здравствуйте. Помогите исследовать на равномерную сходимость ряд:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^2n^2}{(x^4+n^4)\sin(\frac {n}{x}) }$$

$E_1=(0,1)$
$E_2=(1, \infty)$

Если учесть, что $a^2 + b^2\ge 2|ab|$, то можно сказать, что:

$$ \frac{x^2n^2}{x^4+n^4}\le\frac{x^2n^2}{2|x^2n^2|}=\frac{1}{2}$$

Тогда

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2\sin(\frac {n}{x})} \le \frac{1}{2}}$$

Значит, на $E_2$ $x_n=n$
ряд=$\frac{1}{2} \sin(1)$ не сходится к 0. Значит, на $E_2$ нет равномерной сходимости.

Правильный вывод?
Что можно сказать о $E_1$?

Заранее спасибо

zhoraster:

$2\ge 1 \le 3$

$2\ge 1 \le 3$

-- Сб дек 25, 2010 22:52:25 --

Спасибо за исправления

[zhoraster]

Неправильно.

Вы сверху чем-то оценили, да еще и неправильно. Даже если бы Вы правильно оценили сверху, такая оценка ничего не может говорить об отсутствии равномерной сходимости.

Впрочем, неравенство Вы вспомнили нужное. Когда оно становится равенством?

[basic]

zhoraster
Когда |a|=|b|

[zhoraster]

А в нашем случае?

[basic]

|x|=|n|

[zhoraster]

Ну, модули не нужны,

Лукреций писал(а):

и тупому уму понять это будет нетрудно.

Теперь: условие равномерной сходимости говорит, что супремум по $x$ хвоста ряда стремится к нулю. Как это соотносится с тем, что какой-то из далеких-далеких членов ряда где-то на нашей области равен единице?

[basic]

Не уверен, что правильно вас понял, но при x=1, ряд выглядит, как

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2\sin(n) }$$

Нужно найти производную этого и его точку максимума?

[ИСН]

(предыдущего не читал)
Производную чего? Это в лучшем случае число, одно число, не функция - ну, если ряд сходится. Постойте, а он сходится?

[basic]

Да, точно. Тогда как?

[ИСН]

Что точно? Сходится или нет?

[basic]

До этого не додумался еще

-- Вс дек 26, 2010 00:21:32 --

ИСН
Не намекнете, как сделать?

-- Вс дек 26, 2010 00:35:47 --

прошу прощения. Ряд

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^2n^2}{(x^4+n^4)}\sin(\frac {n}{x}) }$$

[SpBTimes]

zhoraster:

Размещать готовые решения учебных задач запрещено правилами форума. Особенно если эти решения неправильные. Посмотрите заодно в первом посте, как оформляется знак нестрогого неравенства.

[zhoraster]

Ладно, давайте немного с другой стороны.

В точности как со сходимостью рядов, существует необходимое условие равномерной сходимости ряда: член ряда равномерно сходится к нулю. Выполнено ли это условие на $[1,\infty)$?

[ewert]

zhoraster в сообщении #391728 писал(а):

Ладно, давайте немного с другой стороны.

В точности как со сходимостью рядов, существует достаточное условие равномерной сходимости ряда: член ряда равномерно сходится к нулю. Выполнено ли это условие на $[1,\infty)$?

Это и впрямь немножко не с той стороны. Ну допустим, что не выполняется; и что?... Отсюда до решения ещё далеко. Поскольку:

zhoraster в сообщении #391612 писал(а):

условие равномерной сходимости говорит, что супремум по $x$ хвоста ряда стремится к нулю. Как это соотносится с тем, что какой-то из далеких-далеких членов ряда где-то на нашей области равен единице?

-- неизвестно, прямой связи нет.

[zhoraster]

(не читать, чушь)

ewert в сообщении #391759 писал(а):

zhoraster в сообщении #391728 писал(а):

В точности как со сходимостью рядов, существует достаточное условие равномерной сходимости ряда: член ряда равномерно сходится к нулю. Выполнено ли это условие на $[1,\infty)$?

Это и впрямь немножко не с той стороны. Ну допустим, что не выполняется; и что?..

Ну, если достаточное условие не выполнено, то, наверное, равномерной сходимости нет?

-- Вс дек 26, 2010 15:14:02 --

ewert в сообщении #391759 писал(а):

zhoraster в сообщении #391612 писал(а):

условие равномерной сходимости говорит, что супремум по $x$ хвоста ряда стремится к нулю. Как это соотносится с тем, что какой-то из далеких-далеких членов ряда где-то на нашей области равен единице?

-- неизвестно, прямой связи нет.

Прямой связи нет, поэтому я и предложил "идти с другой стороны" и привел вышеуказанное достаточное условие. Которое, кстати, практически незамедлительно следует из критерия Коши равномерной сходимости.