Функан, положительные A,B такие, что AB не положительно

[id]

Задачка:

Цитата:

1) Привести пример таких положительных операторов $A,B \in \mathcal B(H)$, что $AB$ уже не будет положительным (здесь $H$ - гильбертово, а положительность понимается в смысле "неотрицательности самосопряженного оператора" или что то же самое $\sigma(A) \subset [0,\infty)$)

Тут ясно, что надо думать о чем-то бесконечномерном (ибо в конечномерном случае есть теорема о том, что для двух квадратичных форм, из которых одна положительна, есть базис, в котором обе имеют диагональный вид). Более того, теорема Гильберта-Шмидта намекает на то, что компактных операторов тоже желательно избегать.

Цитата:

2) Но если при этом $AB = BA$, то произведение будет положительным.

А тут, подозреваю, надо использовать то, что положительность оператора $A$ эквивалентна существованию самосопряженного $a: A = a^2$.
Тогда имеем $AB = aabb = bbaa = BA$; если показать, что $ab=ba$, то все ясно; но я пока это не показал. Может быть, получится то, что нужно, если рассмотреть коммутативную $C^*$ алгебру, порожденную $A,B$ и воспользоваться возможностью извлечения корня в ней... но не слишком ли это длинно?


В каком направлении подумать?

[sup]

Для несамосопряженных операторов утверждения, очевидно, неверны. Достаточно рассмотреть в качестве $A$ поворот в $R^2$ на какой нибудь "подходящий" угол. Тогда уже $A^2$ не будет положительным.
Далее, апелляция к квадратичным формам в п.1, увы, с изъяном. Достаточно рассмотреть $R^2$. Пусть $A$ - диагональная. На диагонали $1$ и $\epsilon$. Нетрудно подобрать $B$ так, чтобы $AB$ уже не была положительно определенной. Что касается п.2. То действительно, надо рассмотреть $\sqrt{A}$. Более точно, надо показать, что этот корень самосопряжен и коммутирует с $B$. (Пусть, например, найдется последовательность полиномов от $A$, сходящаяся к $\sqrt{A}$). Тогда

$$(ABx,x)=(\sqrt{A}\sqrt{A}Bx,x)=(\sqrt{A}Bx,\sqrt{A}x)=(B\sqrt{A}x,\sqrt{A}x)\geqslant 0.$$

Для извлечения квадратного корня из положительного самосопряженного оператора не обязательно использовать мощную теорию $C^*$-алгебр (хотя это, наверное, самый быстрый путь). Можно использовать спектральное представление оператора $A$. Можно по теореме Вейерштасса приблизить $\sqrt x$ полиномами, и показать, что они сходятся и в операторной топологии (для оператора $A$). Можно рассматривать итерационный процесс. Выбирайте, что Вам по душе.

[ewert]

id в сообщении #391196 писал(а):

Задачка:

Цитата:

1) Привести пример таких положительных операторов $A,B \in \mathcal B(H)$, что $AB$ уже не будет положительным (здесь $H$ - гильбертово, а положительность понимается в смысле "неотрицательности самосопряженного оператора" или что то же самое $\sigma(A) \subset [0,\infty)$)

Цитата:

2) Но если при этом $AB = BA$, то произведение будет положительным.

Это довольно странная комбинация утверждений. Если операторы коммутируют, то, разумеется, положительность сохраняется (наверное, предложенное sup доказательство с корнем оптимально). А странность в том, что если они не коммутируют, то их произведение не является самосопряжённым оператором и фразы в первом утверждении начинают противоречить друг другу.

Кстати, с положительностью лучше бы поосторожнее: строгая положительность и неотрицательность -- это всё-таки разные вещи. Неотрицательность действительно равносильна (в самосопряжённом случае) $\sigma(A)\subset[0;+\infty)$, но и строгая положительность тоже влечёт за собой всего лишь $\sigma(A)\subset[0;+\infty)$.

[id]

Так, примерно ясно. Спасибо!