Интеграл по контуру

[zluka]

Наткнулся на такой вот интеграл и запаниковал
$\int_0^\infty \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx$
Если делать замену то выскакивает корень, а он в комплексной переменной меня всегда напрягает, а если не делать замену, то не знаю какой можно взять контур. Подскажите, пожалуйста.

[maxmatem]

А с помощью вычетов пробовали?

[zluka]

Ну разумеется речь идет о вычетах. Не могу сообразить контур для этого интеграла.

[sup]

Разложите логарифм в сумму 2-х логарифмов. И сосчитайте 2 интеграла по отдельности. В одном случае рассматривайте верхнюю полуплоскость, а в другом - нижнюю. Короче, ту, где у логарифма нет особенности. Дальше - тривиальные вычеты.

[zluka]

А почему логарифм можно просто так раскладывать в сумму?

[paha]

zluka в сообщении #390621 писал(а):

А почему логарифм можно просто так раскладывать в сумму?

по свойству логарифма... и линейности интеграла

[zluka]

Эмм. А разве там с ветвями никакой гадости нету?

[ИСН]

Так для этого надо выбирать ту сторону, где у логарифма всё гладенько.

[zluka]

Объясните пожалуйста поподробнее. Для меня это и было непонятным теоретическим моментом.

[paha]

zluka в сообщении #390628 писал(а):

Эмм. А разве там с ветвями никакой гадости нету?

Ведь никто не мешает написать $\ln(1+x^2)=2Re\ln(x+i)$ и спокойно вычислять интеграл в верхней полуплоскости

Ну, Вам же предлагали $\ln(1+x^2)=\ln(x+i)+\ln(x-i)$, а это одно и то же

[sup]

Только сначала надо "удвоить" интеграл, протолкнув и на левую полуось (в силу четности).

[zluka]

$\ln(1+x^2)=2Re\ln(x+i)$
Я раньше не видел этого трюка( Спасибо теперь все понятно.

[paha]

замена $x=\tg t$ приводит данный интеграл к интегралу Лобачевского, хотя тут уже его, можно сказать, и вычислили

[zluka]

И последний вопрос. Нужно ли обходить точку 0 в контуре или можно проехаться прямо по ней?

[ИСН]

А что, в ней что-то не так?