Циркуляция вектора вдоль части окружности

[Rin]

Вектор
$\overrightarrow{F(M)}=2x\overrightarrow{i}-y\overrightarrow{j}$

Найти циркуляцию* по контуру:
$x^2+y^2=R^2, Z=0, x\geqslant 0, y\geqslant 0$

*непосредственно и по формуле Стокса.

Суть в том, что при нахождении ротора F, он получается равным 0,
$rot(\overrightarrow{F(M)})$= \left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2x & -y & 0 \end{array} \right| $=0

что сводит решение к тому,
$rot(\overrightarrow{F(M)})\overrightarrow{n_0}=0+0+0=0$

Ц$=0

что циркуляция равна 0. Или я не прав?
Точнее, что мне делать, что бы решить это.

При попытке решить непосредственно, получился ответ $-R/2$ ...

Надеюсь на вашу помощь, спасибо. <_<

[Ales]

Циркуляция вектора $(2x,-y,0)$ вдоль кривой это интеграл скалярного произведения вектора $(2x,-y,0)$ на вектор $(dx,dy,dz)$, то есть $\int (2xdx-ydy)$.
$\int (2xdx-ydy) = \int d(x^2- \frac {y^2} 2) $.
Интеграл дифференциала величины ($x^2- \frac {y^2} 2$) вдоль кривой равен разности значений этой величины в начале и конце кривой, для замкнутой кривой они одинаковы.

Если кривая замкнута, должен получится ноль.

[ewert]

Rin в сообщении #390451 писал(а):

Суть в том, что при нахождении ротора F, он получается равным 0,

Это правда, и циркуляция действительно ноль, естественно.

Rin в сообщении #390451 писал(а):

При попытке решить непосредственно, получился ответ

Ну а мы-то откуда знаем, почему получился?... -- ведь вычислений-то Вы не привели. Хотя есть гипотеза: сам контур Вы описали настолько дико, что совсем не исключено: при попытке непосредственного вычисления Вы просто не отдавали себе отчёта в том, что считаете.

[Ales]

Циркуляцию через ротор можно считать только для замкнутых кривых, ведь надо иметь поверхность, которую этот контур ограничивает. Тогда поток ротора через эту поверхность равен циркуляции исходного вектора по границе.

-- Чт дек 23, 2010 00:47:51 --

Сам термин "циркуляция" подразумевает замкнутость контура (кривой).
Хотя такой же интеграл можно считать и для незамкнутых кривых.

[Gortaur]

Словом, на всей окружности циркуляция может быть и ноль - но Вам же нужно лишь на одной четверти посчитать.