Предел функции по определению

[eX-plorer]

Уже который день пытаюсь доказать следующее по определению ..
$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^3+5}{4^n}=0$
дохожу до
$n^3+5 < \varepsilon 4^n$
$\log_{4}\frac{n^3+5}{\varepsilon} < n$
и всё .. тупик ..
иль я не так иду ..

[SpBTimes]

Не так.
$\frac{n^3 + 5}{4^n}$ нужно оценить удачно. n должно зависеть только от эпсилон

[eX-plorer]

ну я понимаю, что n от эпсилон должно быть .. просто я не могу вывести n от эпсилон .. как решать такого рода задачи.

[SpBTimes]

нужно придумать оценку числителю. Подскажу: показательной функцией. Увеличьте ей числитель, но не так, чтобы вываливались в бесконечность. Не сильно, но достаточно, чтобы связать n и эпсилон.

Чёрт, прямо какое-то сочинение получается Оо

[ewert]

SpBTimes в сообщении #389357 писал(а):

Увеличьте ей числитель, но не так, чтобы вываливались в бесконечность.

Это лучше делать в два приёма:

1) оценить пятёрку через куб при достаточно больших эн;

2) оценить куб через небольшую геометрическую прогрессию (легко доказывается по индукции, только сначала из доказываемого неравенства лучше извлечь кубический корень).

[SpBTimes]

Ну можно и так, конечно. Но показательной даже сразу можно, как мне кажется.

[ewert]

Там морока с техническими ньюанецами.

[SpBTimes]

Возможно. Хотя...

[ewert]

(Оффтоп)

SpBTimes в сообщении #389373 писал(а):

Возможно. Хотя...

Ну, собственно, достаточно доказать, что $\dfrac{(n+1)^3+5}{n^3+5}<2$. Нетрудно, конечно, но...

(в общем, я предпочитаю разбивать задачу на более элементарные кирпичики, хотя это дело вкуса, конечно)

[SpBTimes]

(Оффтоп)

ewert
красиво!

[Padawan]

Теорема Штольца еще есть.

[ewert]

Padawan в сообщении #389468 писал(а):

Теорема Штольца еще есть.

Нет никакой теоремы Штольца:

eX-plorer в сообщении #389348 писал(а):

пытаюсь доказать следующее по определению

[Padawan]

Прошу прощения. Невнимательно прочитал.