Эффект Доплера для волновой функции.

[ИгорЪ]

Дело не в виде потенциала, конечно, взят самый простой. А в том как из функций до ступеньки
$e^{ik_1x-i\omega_1 t} +Be^{-ik_2x-i\omega_2 t},$ , и после $e^{ik_3x-i\omega_3 t}$ получить, что то типа $k_1-k_2=2mv . Ну и соответствущее различие энергий.
Повторюсь, что задача легко решается в системе движущейся вместе со ступенькой, где эти формулы очевидны.

[Munin]

Итак, (после отбрасывания "причинно-лишних составляющих") наша волновая функция имеет вид:

$$\Psi=\left\{\begin{array}{lll} e^{\textstyle -ik_1x-i\omega_1t}+Re^{\textstyle ik_2x-i\omega_2t}&\quad&x<vt\\ Se^{\textstyle -ik_3x-i\omega_3t}&&x>vt \end{array}\right.$$

причём $\omega_{1,2}=\dfrac{k_{1,2}^2}{2m},$ $\omega_3=\dfrac{k_3^2}{2m}+U.$ Условия сшивки выполняются на линии $x=vt,$ и представляют собой равенства значений $\Psi$ и их производных по $x.$ Можно было бы включить и равенства производных по $t,$ но они не пригодятся. Подставляя всё это, имеем следующую систему условий сшивки:

$$\left\{\begin{array}{l} e^{\displaystyle -ik_1vt-i\frac{k_1^2}{2m}t}+Re^{\displaystyle ik_2vt-i\frac{k_2^2}{2m}t}=Se^{\displaystyle -ik_3vt-i\frac{k_3^2}{2m}t-iUt}\\ (-ik_1)e^{\displaystyle -ik_1vt-i\frac{k_1^2}{2m}t}+(ik_2)Re^{\displaystyle ik_2vt-i\frac{k_2^2}{2m}t}=(-ik_3)Se^{\displaystyle -ik_3vt-i\frac{k_3^2}{2m}t-iUt} \end{array}\right.$$

Уравнений 2 комплексных, или 4 действительных. Неизвестных 2 действительных $k_{2,3}$ и 2 комплексных $R,$ $S.$ Будем надеяться, что система сойдётся. Итак (переобозначения введены, чтобы не переписывать большие подвыражения; надеюсь, они очевидны из контекста, f, $\varphi$ - "forth", b, $\beta$ - "back"):

$$\left\{\begin{array}{l} f+Rb=Sf'\\ -ik_1f+ik_2Rb=-ik_3Sf'=-ik_3(f+Rb) \end{array}\right.\eqno(*)$$

$$(-ik_1+ik_3)f=(-ik_2-ik_3)Rb$$

$$\frac{k_1-k_3}{k_2+k_3}(\cos\varphi(t)+i\sin\varphi(t))=R(\cos\beta(t)+i\sin\beta(t))$$

Это равенство должно выполняться при любом моменте времени, откуда получается система

$$\left\{\begin{array}{l} \beta(t)=\varphi(t)+\beta_0\\ \dfrac{k_1-k_3}{k_2+k_3}=R(\cos\beta_0+i\sin\beta_0) \end{array}\right.$$

Раскрывая первое уравнение этой системы, находим

$$\left(k_2v-\frac{k_2^2}{2m}\right)t=\left(-k_1v-\frac{k_1^2}{2m}\right)t+\beta_0,$$

откуда $\beta_0=0,$ и квадратное уравнение $k_2=k_2(k_1).$ Во втором уравнении висит пока неизвестная $k_3,$ но нам его сейчас решать не обязательно. Мы можем пойти от (*) по другой ветке, исключая $b,$ и точно так же прийти к $k_3=k_3(k_1),$ и тогда уже получить окончательно значения одновременно и для $R,$ и для $S.$ Как видим, уравнений хватило.

[ИгорЪ]

Это всё хорошо, но если подставлять в.ф. в нестац. УШ, не получатся обычные формулы $w_{1,2}={k_{1,2}^2/2$ для прямой и отраженных волн. А потому $w_{1,2}$ не удается исключить.

[Munin]

Во-первых, как это не получится, когда мы из них и исходим? Во-вторых, исключать их ни в коем случае не надо! (НстУШ) в (СтУШ) в данном случае не превращается.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #388244 писал(а):

Во-первых, как это не получится, когда мы из них и исходим?

Подставте и увидите. Обычный закон $w=k^2/2$ не работает.

Munin в сообщении #388244 писал(а):

Во-вторых, исключать их ни в коем случае не надо!

А как решать ур-я на $k$?

Munin в сообщении #388244 писал(а):

(НстУШ) в (СтУШ) в данном случае не превращается.

это я не понял к чему

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #388255 писал(а):

Подставте и увидите.

Ну, я подставляю, вот здесь post388098.html#p388098 , при переходе от первой системы ко второй. И что я должен увидеть?

ИгорЪ в сообщении #388255 писал(а):

А как решать ур-я на $k$?

$$k_2v-\frac{k_2^2}{2m}=-k_1v-\frac{k_1^2}{2m}$$

$$\frac{1}{2m}k_2^2-vk_2-k_1v-\frac{k_1^2}{2m}=0$$

$$k_2=\frac{v\pm\sqrt{v^2+\dfrac{2}{m}\left(k_1v+\dfrac{k_1^2}{2m}\right)}}{1/m}$$

$$k_2=m\left(v\pm\left\lvert v+\dfrac{k_1}{m}\right\rvert\right)$$

Очевидно, корень $k_2=k_1$ нас не интересует и должен быть отброшен.

ИгорЪ в сообщении #388255 писал(а):

это я не понял к чему

Обозначения см. post385349.html#p385349 . Или я неправильно понял ваше "исключить"?

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #388313 писал(а):

Ну, я подставляю, вот здесь post388098.html#p388098 , при переходе от первой системы ко второй. И что я должен увидеть?

Вы не поняли. Не в условия сшивки подставлять. Подставляя в нестац. УШ, вы не получите обычных уравнений $w_{1,2}=k_{1,2}^2/2$ на прямую и отраженную волны! А в вашем решении вы их используете для исключения $w_{1,2}$

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #388321 писал(а):

Подставляя в нестац. УШ, вы не получите обычных уравнений $w_{1,2}=k_{1,2}^2/2$ на прямую и отраженную волны!

Каким образом не получу?

Давайте более простую задачу рассмотрим: потенциал везде нуль. Каковы решения нестационарного УШ в этом случае? Потом будем их использовать по правую и левую сторону ступеньки.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #388331 писал(а):

Каким образом не получу?

Подставте и увидите. Могу написать
$w_1e^{i(k_1x-w_1t)}+Rw_2e^{-i(k_2x+w_2t)}=k_1^2/2e^{i(k_1x-w_1t)}+Rk_2^2/2e^{-i(k_2x+w_2t)}$, вот что с этим делать? Потому я и протестую против прямой и обратной волн с разными частотами и волн. векторами в затравочном решении.

-- Пт дек 17, 2010 13:23:23 --

Может добавить какое нибуть ур-ие нпрерывности для тока вероятности?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #388347 писал(а):

Munin в сообщении #388331 писал(а):

Каким образом не получу?

Подставте и увидите. Могу написать
$w_1e^{i(k_1x-w_1t)}+Rw_2e^{-i(k_2x+w_2t)}=k_1^2/2e^{i(k_1x-w_1t)}+Rk_2^2/2e^{-i(k_2x+w_2t)}$, вот что с этим делать?

Как что? Искать, при каких условиях левая часть приравнивается правой. Причём во всей области $t\in\mathbb{R},$ $x\in(-\infty,vt).$ Вы что, фурье-анализ забыли? Ответом, однозначным, как раз и будет
$\omega_1=\dfrac{k_1^2}{2}$
$\omega_2=\dfrac{k_2^2}{2}$

ИгорЪ в сообщении #388347 писал(а):

Потому я и протестую против прямой и обратной волн с разными частотами и волн. векторами в затравочном решении.

Ну это вы просто в решениях (НстУШ) пока не разобрались, плутаете как начинающий.

ИгорЪ в сообщении #388347 писал(а):

Может добавить какое нибуть ур-ие нпрерывности для тока вероятности?

Уравнение непрерывности для тока вероятности и так следует из (НстУШ). Это же букварь, ЛЛ-3, § 19 "Плотность потока" (возьмите отсканированное старое издание, в отсканированном новом опечатки в формулах - местами пропущен знак $=$).

Может, вам и вправду ЛЛ-3 и Мессиа почитать, а?

[ИгорЪ]

Объясните пожалуйста однозначность решения и требование выполнения равенства во всей области $x,t$

[Munin]

Извините, я теряюсь. Не умею слишком элементарные вещи рассказывать. Когда я их учил, я был слишком несмышлён, и они отложились по большей части в подсознании, а не в сознании уже. Так что делайте скидку на мою неуклюжесть. И в самом деле, в учебниках всё это гораздо более отработано и вылизано.

У нас уравнение имеет вид

$$\mathrm{LHS}[k_1,\omega_1,k_2,\omega_2,R](x,t)=\mathrm{RHS}[k_1,\omega_1,k_2,\omega_2,R](x,t),$$

где в квадратных скобках - искомые неизвестные, и кроме того, правая и левая часть зависят от $(x,t)$ как функции, то есть равенство должно выполняться при любых $(x,t)$ (точнее - в некоторой области). Это значит, вообще говоря, что приравниваются бесконечномерные векторы, и в общем случае скорее всего такая система не имеет решений. Но в данном случае эти векторы принадлежат низкоразмерному общему подпространству. Мы это обнаруживаем, если вспоминаем про такой базис в нашем пространстве функций, как фурье-компоненты. Тогда мы можем разложить обе части по базису, и приравнять коэффициенты при базисных векторах.

Базисными векторами будут

$$e^{\textstyle ik_1x-i\omega_1t},\quad\quad e^{\textstyle -ik_2x-i\omega_2t}$$

(для ваших знаков $k_{1,2}$) и дальше надо отдельно рассмотреть два случая: когда они совпадают (и подпространство одномерно), и когда не совпадают (и пространство двумерно - всё время в комплексном смысле). Случай совпадения я оставлю вам на самостоятельное рассмотрение, а когда эти векторы не совпадают, уравнение превращается в систему:

$$\left\{\begin{array}{l} \omega_1=\dfrac{k_1^2}{2}\\ R\,\omega_2=R\dfrac{k_2^2}{2} \end{array}\right.$$

Каких-то неоднозначностей тут больше нет, кроме разве что случая $R=0,$ который нас не интересует.

[Утундрий]

Мое знакомство с рассматриваемой темой началось с чтения ЛЛ3 и им же и закончилось. Коэффициент прохождения определяется как отношение плотностей потоков вероятности, поэтому и плывет при галилеевом сдвиге, коий означенные потоки инкрементирует. И, кстати, в чем заключается интерес решать задачу в разных координатах, при наличии несложного закона преобразования промежду ними?

[Munin]

Утундрий в сообщении #388913 писал(а):

Мое знакомство с рассматриваемой темой началось с чтения ЛЛ3 и им же и закончилось. Коэффициент прохождения определяется как отношение плотностей потоков вероятности, поэтому и плывет при галилеевом сдвиге, коий означенные потоки инкрементирует.

Ещё раз. Можно коэффициент прохождения переопределить инвариантно, как вероятность пройти или отразиться в расчёте на одну частицу. Обычно этого не делают, просто потому, что для потенциала постоянной формы оба определения эквивалентны, в КМ этим и ограничиваются. В ФЭЧ, например, без лоренц-инвариантных определений никуда.

Утундрий в сообщении #388913 писал(а):

И, кстати, в чем заключается интерес решать задачу в разных координатах, при наличии несложного закона преобразования промежду ними?

Ну не знают некоторые этого закона, и хотят вывести.

[ИгорЪ]

Утундрий в сообщении #388913 писал(а):

И, кстати, в чем заключается интерес решать задачу в разных координатах, при наличии несложного закона преобразования промежду ними?

Закон хоть и несложный, но совсем не очевидный, я про него вообще не знал. Вот и хотелось проверить руками как вылазит эта фаза, решая задачу в двух разных системах отсчета.
Munin
Итак, надо банально приравнять коэффициенты при одинаковых базисных функциях? Я не спец в фун. анализе, потому надо подумать.