2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 12:00 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Эту задачу я придумала сама только что. Влёгкую пойму тех, кому она не понравится.

Рассмотрим последовательность:

$7!, 17!, 37!, \dots$ (факториалы простых чисел, оканчивающихся на 7).

а) Существует ли четвёрка попарно различных членов этой последовательности $a, b, c, d$ такая, что $a+b-c-d$ делится нацело на $7^{7^{2010}}$?

б) Существует ли бесконечное (алеф-нуль) множество таких (см. пункт а) четвёрок (никакие две из которых не имеют общего члена)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

(Xenia1996)

Xenia1996 в сообщении #388688 писал(а):
Эту задачу я придумала сама только что.

Интересно, как такие задачи могут приходить в голову :-) ? Даже не представляю, в каком направлении нужно думать, чтобы прийти к вопросу о
Xenia1996 в сообщении #388688 писал(а):
а) Существует ли четвёрка попарно различных членов этой последовательности $a, b, c, d$ такая, что $a+b-c-d$ делится нацело на $7^{7^{2010}}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 12:46 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
caxap в сообщении #388701 писал(а):

(Xenia1996)

Xenia1996 в сообщении #388688 писал(а):
Эту задачу я придумала сама только что.

Интересно, как такие задачи могут приходить в голову :-) ? Даже не представляю, в каком направлении нужно думать, чтобы прийти к вопросу о
Xenia1996 в сообщении #388688 писал(а):
а) Существует ли четвёрка попарно различных членов этой последовательности $a, b, c, d$ такая, что $a+b-c-d$ делится нацело на $7^{7^{2010}}$?

(Оффтоп)

Если бы я придумала, но не решила, я бы сюда не постила.
А в голову может придти всё, что угодно. Особенно в период подросткового кризиса :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Xenia1996, это скучно. Начиная с достаточно больших чисел, все факториалы делятся на означенную степень семёрки. А стало быть, и их разности - тоже.
(Да, есть такая разновидность олимпиадных задач, у которых решение тривиально, а условие нацелено на то, чтобы подавить ужасом. Тоже дело, чо.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:22 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
ИСН в сообщении #388715 писал(а):
Xenia1996, это скучно. Начиная с достаточно больших чисел, все факториалы делятся на означенную степень семёрки. А стало быть, и их разности - тоже.
(Да, есть такая разновидность олимпиадных задач, у которых решение тривиально, а условие нацелено на то, чтобы подавить ужасом. Тоже дело, чо.)

Вы правы, насчёт семёрки я прогнала. Моё решение подходит не только для семёрок. Тогда усложняю условие: меняю 7^{7^{2010}} на {13^{13^{13^{2010}}}}

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #388720 писал(а):
Тогда усложняю условие: меняю $7^{7^{2010}}$ на ${13^{13^{13^{2010}}}}$
Лично я не понял, что усложнилось. Для любого натурального числа все члены последовательности, начиная с некоторого, делятся на него.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Для усиления апокалиптичности надо взять $12^{12^{{2012}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:30 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Вы все правы, насчёт факториалов я тоже прогнала. Моё решение подходит не только для факториалов. Тогда усложняю условие: факториал меняю на "факториал плюс единица".
То бишь, 7!+1, 17!+1 \dots

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Xenia1996 в сообщении #388727 писал(а):
Тогда усложняю условие: меняю факториал меняю на "факториал плюс единица".
Это усложнение мнимое: разности всё равно не меняются.

Вы, наверное, предлагаете доказывать через принцип Дирихле. А простые числа упомянуты просто для устрашения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:39 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
ИСН в сообщении #388715 писал(а):
Xenia1996, это скучно. Начиная с достаточно больших чисел, все факториалы делятся на означенную степень семёрки. А стало быть, и их разности - тоже.

Для 5 класса сойдёт, наверно.
Только алефы-нули ненужные убрать, чтоб не пужали :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #388729 писал(а):
Для 5 класса сойдёт, наверно.
Только в пятом классе теорему Дирихле о простых обычно не знают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 13:54 
Аватара пользователя


14/08/09
1140

(Оффтоп)

RIP в сообщении #388732 писал(а):
Только в пятом классе теорему Дирихле о простых обычно не знают.

А ну да, значит "подвох" в задаче был именно в т. Дирихле? :shock: Хм... Ну тогда уж лучше просто дать задачу на д-во ЧС теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 14:02 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
RIP в сообщении #388728 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #388727 писал(а):
Тогда усложняю условие: меняю факториал меняю на "факториал плюс единица".
Это усложнение мнимое: разности всё равно не меняются.

Вы, наверное, предлагаете доказывать через принцип Дирихле. А простые числа упомянуты просто для устрашения.

Хорошо, я - дура.
Давайте разность непостоянной сделаем: факториал плюс простое
$7!+2, 17!+3, 37!+5, \dots$
Моё решение подходит и для этой ситуации. Просто условие я сформулировала поспешно, вот и нсмешила людей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Я ж говорю: принцип Дирихле. Пусть $a_n$ --- произвольная последовательность целых чисел, $m$ --- произвольное натуральное число. Тогда некая подпоследовательность $a_{n_k}$ целиком лежит в одном классе вычетов по модулю $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Факториалы простых чисел
Сообщение18.12.2010, 14:38 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
RIP в сообщении #388743 писал(а):
Я ж говорю: принцип Дирихле. Пусть $a_n$ --- произвольная последовательность целых чисел, $m$ --- произвольное натуральное число. Тогда некая подпоследовательность $a_{n_k}$ целиком лежит в одном классе вычетов по модулю $m$.

На Есайенсине я уже раскололась:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=26499

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group