Найти поток вектора

[Dilettante]

Приветствую вас! Вот такая задача: найти поток вектора $ a=iyz+jxz+kxy $ через боковую и полную поверхность циллиндра $x^2+y^2 \leqslant a^2$. Поначалу пытаюсь разобраться с боковой. Попытался взять поверхностный интеграл второго рода:

$$\int_{S}{} \int yzdydz+zxdzdx+xydxdy$$

Искал проекции на плоскости $Oyz$ и $Oxz$, там понятно, прямоугольники, да и к тому же как я понял эти составляющие уничтожаются. А что тут дальше делать? Ведь проекция на плоскость $Oxy$ - окружность. В одном из номеров на тему формулы Остроградского дополняли в таком случае поверность плоскостями и искали через тройной интеграл минус поверхностные по добавленным плоскостям. Здесь нечто подобное стоит применить? Подскажите, кто знает.

[paha]

на боковой поверхности цилиндра $xdx+ydy=0$

[Dilettante]

Что-то я не очень понял откуда вы это получили... Нашли производную от уравнения, задающего циллиндр? Туплю, но также не очень понял как это использовать

[paha]

Dilettante в сообщении #388716 писал(а):

Что-то я не очень понял откуда вы это получили... Нашли производную от уравнения, задающего циллиндр?

ну, разумеется $0=d(x^2+y^2-a^2)=2(xdx+ydy)$

Dilettante в сообщении #388716 писал(а):

Туплю, но также не очень понял как это использовать

а Вы в первых двух слагаемых под интегралом поищите:)

[Dilettante]

Первые два сократятся? Получаем: $\int_{S}{} \int xydxdy$ Двойной интеграл?

Вообще, исходя из каких соображений стали искать производную? Как это объяснить можно? И можно ли как-то иначе найти поток в этом задании, например дополнив область до замкнутой поверхности?

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #388671 писал(а):

на боковой поверхности цилиндра $xdx+ydy=0$

Оно конечно верно, но чересчур уж изысканно.

Dilettante в сообщении #388650 писал(а):

А что тут дальше делать? Ведь проекция на плоскость $Oxy$ - окружность.

Так это ж просто замечательно. Площадь проекции (т.е. окружности) есть ноль -- а с нею автоматически и интеграл.

[Dilettante]

Всё, с проекцией на $Oxy$ понятно. Спасибо за внимание к теме!