Задача про погоню

[caxap]

В центре круглой арены сидит лиса, а на её краю — заяц. Лиса может бегать по всей арене, а заяц лишь по её краю. Оба они могут двигаться с одной и той же максимальной скоростью, позволяющей им обежать всю арену по её краю за одну минуту. Желаемую скорость они способны набирать мгновенно. Через сколько секунд лиса догонит зайца, если их стратегии оптимальны?

Второй день сижу с задачей и не могу решить...
По-моему, оптимальная стратегия -- это когда они оба бегут с максимальной скоростью, и скорость лисы направлена к зайцу. Получается, что лиса бежит по спирали. Но непонятно, что это за спираль.

Пусть вектор $A(t)$ -- положение лисы на круге (в декартовой СК), $B(t)$ -- зайца. Получаются такие уравнения (радиус принят за 1, тогда $v=\frac {\pi}{30}\ c^{-1}$)

$$\begin{gathered} A(0)=(0,0);\quad B(0)=(1,0)\\ B(t)=(\cos \frac{\pi}{30}t,\sin \frac{\pi}{30}t)\\ dA(t)=\frac{B(t)-A(t)}{|B(t)-A(t)|}\cdot \frac{\pi}{30}dt\end{gathered}$$

Не знаю как решить это, но в Mathematica численно решил и построил график -- получается, что спираль асимптотически приближается к краю круга, то есть никогда его не пересекёт, то есть лиса зайца не догонит. Но это неверно.

Подскажите, пожалуйста, куда думать. Решение не нужно. Нужна только идея.

[Gortaur]

caxap в сообщении #388005 писал(а):

Не знаю как решить это, но в Mathematica численно решил и построил график -- получается, что спираль асимптотически приближается к краю круга, то есть никогда его не пересекёт, то есть лиса зайца не догонит. Но это неверно.

Подскажите, пожалуйста, куда думать. Решение не нужно. Нужна только идея.

Почему Вы думаете, что это неверно? Проверили бы, что $|A_t|<1$ для всех конечных $t$.

[TOTAL]

caxap в сообщении #388005 писал(а):

Решение не нужно. Нужна только идея.

Лиса находится на одном радиусе с зайцем (это она может сделать)

[Алексей К.]

ewert в сообщении #376340 писал(а):

Это далеко не первое вхождение этой задачи в форум. Вот последний вариант:

сообщение #373564

(т.е. теперь уже предпоследниий)

Ну только там была замена переменной (лиса --> волк), а заяц плавал.

[neo66]

И не догонял, а убегал. А, в общем, то же самое.

[ИСН]

(Оффтоп)

И не в лотерею, а в преферанс. И не выиграл, а проиграл.

[caxap]

TOTAL в сообщении #388015 писал(а):

Лиса находится на одном радиусе с зайцем

Да-да, пока ехал в маршрутке, сам до этого добрёл. Всё так просто, оказывается!

Всем спасибо.

[caxap]

А если заяц может не только по окружности бегать? Я думаю, что ничего не изменится, т. к. если лиса чуть приблизилась к зайцу, то заяц должен стараться убежать от неё чем дальше, тем лучше. Но дальше всего получится, если прижиматься к окружности. Но это не верный ответ. Где я сделал ошибку?

[bigarcus]

Было (ссылка получше верхней):
http://dxdy.ru/topic38528.html?hilit=%D0%B7%D0%B0%D1%8F%D1%86

[caxap]

bigarcus в сообщении #388217 писал(а):

Было

Но там везде кто-то бегает только по окружности. С этим случаем я уже рзобрался. Мне интересно, что будет, если и лисе и зайчу разрешить бегать по всему кругу. Конкретней: где я допустил ошибку в моём предыдущем сообщении?

[ИСН]

В старых Квантах было где-то. Там получалось что-то противоестественное.

[Yu_K]

Принципы построения оптимального управления процессом погони изложены в работах Понтрягина Л.
Оптимизация и дифференциальные игры. «Вестник АН СССР», 1978, № 7, с. 10–17. http://ega-math.narod.ru/LSP/ch7.htm

[bigarcus]

сахар, извините, я поздно написал.
В чём у Вас ошибка - искренне не знаю.