Свойство ядра усреднения.

[serafimko]

Доброго времени суток. Проблема в следующем: на промежутке ($-\infty ; +\infty$) имеется функция $\omega(t)$, при $|t|<1$ принимающая значения $\frac 1 c e ^{-\frac 1 {1-t^2}}$, где $c=\int\limits_{-1}^{1} e ^{-\frac 1 {1-s^2}}ds$, а при $|t|\geqslant1$ равная 0. Одним из ее свойств является бесконечная дифференцируемость на всей числовой оси. Я никак не могу понять, почему существует хотя бы первая производная в точках $t=\pm 1$. Например, для 1 у меня получается, что левая производная 0, а правая бесконечность. Помогите разобраться, пожалуйста.

P.S. мой первый пост на данном ресурсе. Если что не так, поправьте )

[Dan B-Yallay]

Выпишите тут производную.

[ewert]

serafimko в сообщении #387884 писал(а):

Например, для 1 у меня получается, что левая производная 0, а правая бесконечность.

Это, скорее всего, потому, что при попытке найти правую производную Вы зачем-то использовали экспоненциальное выражение, в то время как по условию надо было подставлять просто ноль.

[serafimko]

Dan B-Yallay в сообщении #388058 писал(а):

Выпишите тут производную.

$-\frac 1 c e^{-\frac 1 {1-t^2}} \frac {2t} {({1-t^2})^2}$

ewert в сообщении #388074 писал(а):

serafimko в сообщении #387884 писал(а):

Например, для 1 у меня получается, что левая производная 0, а правая бесконечность.

Это, скорее всего, потому, что при попытке найти правую производную Вы зачем-то использовали экспоненциальное выражение, в то время как по условию надо было подставлять просто ноль.

У меня была подобная мысль. Но почему-то показалось, что это неверно. Т.е. получается, что в точке 1 левая производная 0 как предел выше написанной производной при $t\to 1-$, а правая 0, потому что на луче функция - тождественный 0?

[ИСН]

Ну а чему же ещё равна производная от тождественного 0?

[serafimko]

Да дело не в том, чему равна его производная. У меня просто были сомнения насчет того, нужно ли искать правый предел от производной данной функции или же просто оставить 0. В литературе не нашел примеров дифференцирования подобных кусочно заданных функций.

[ИСН]

serafimko в сообщении #388128 писал(а):

нужно ли искать правый предел от производной данной функции или же просто оставить 0

А что, между этими вариантами большая разница?

[serafimko]

Да. Разница является бесконечностью.

[ИСН]

[Dan B-Yallay]

serafimko в сообщении #388132 писал(а):

Да. Разница является бесконечностью.

$f'(1^+)=\dislpaystyle\lim_{h \to 0^+ }\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} =\dislpaystyle\lim_{h \to 0^+} \dfrac {0-0}{h} \equiv 0$. Basta.

[ИСН]

а, понял. Вы, serafimko, под "данной функцией" понимаете ту же формулу, которая действует на (-1,1), но - формально продолженную на всю остальную прямую. Вот этого не надо. Это к нашей функции не имеет никакого отношения.

[serafimko]

В общем, спасибо. Развеяли мои сомнения, разобрался.

[ewert]

ИСН в сообщении #388124 писал(а):

Ну а чему же ещё равна производная от тождественного 0?

Вот только этого пока что не надо (пока речь идёт о правой первой производной). Пока что производная ищется по определению -- как предел отношения приращений. Вот в числитель этого формального отношения и надо подставлять тождественный ноль.