Вопрос по дифференцированию определённого интеграла

[undeddy]

Пусть в пространстве $\mathcal{G}=\{x(j):[0,b]\to \mathbb{R}^1, что x(j)-$интегрируема на $[0,b] \}$ задана функция $F(x(j))=\int\limits_{0}^{b}x^\alpha (j) dj$.

Можно ли посчитать $\frac{\partial F}{\partial x(k)}, k\in[0,b]$, и если можно, то какой это будет иметь смысл? Частная производная по переменной?

[AD]

Если менять функцию $x$ только в одной точке $k$, то значение $F(x)$ не изменится. Производная равна нулю, или Вы что-то другое имеете в виду?
Подумайте над приданием точного смысла выражению $\frac{dF}{dx}$, он хотя бы есть.

[undeddy]

Из практических соображений, в правой части "должно" (для моих расчётов) получиться $\alpha x^{(\alpha-1)}(j)$. Какой операцией над $F(x(j))$ можно этого добиться?

[paha]

undeddy в сообщении #386939 писал(а):

Пусть в пространстве $\mathcal{G}=\{x(j):[0,b]\to \mathbb{R}^1, что x(j)-$интегрируема на $[0,b] \}$ задана функция $F(x(j))=\int\limits_{0}^{b}x^\alpha (j) dj$.

все-таки это -- не функция, а функционал

$$ F[f]=\int_{[0,b]}f^\alpha(x){\rm d}x. $$

undeddy в сообщении #387006 писал(а):

Из практических соображений, в правой части "должно" (для моих расчётов) получиться $\alpha x^{(\alpha-1)}(j)$. Какой операцией над $F(x(j))$ можно этого добиться?

в правой части Вы интегрируете по $j$, поэтому левая часть от $j$ зависеть не может.

для таких штук все как для обычных отображений, и вот самый дурацкий способ:

$$\frac{dF}{df}(u)=\left(\frac{d}{dt}\right)_{t=0}F[f+tu]=\alpha\int_{[0,b]}f^{\alpha-1}(x)u(x) dx$$

[undeddy]

И никаким образом не получится "избавиться" от интеграла в правой части?

[paha]

undeddy в сообщении #387344 писал(а):

И никаким образом не получится "избавиться" от интеграла в правой части?

ну а чем интграл не угодил:) прекрасный функционал

[undeddy]

В том смысле, что нельзя ли "как-то" продифференцировать данный функционал, чтобы "ушёл" интеграл.

[paha]

undeddy в сообщении #387476 писал(а):

нельзя ли "как-то" продифференцировать данный функционал, чтобы "ушёл" интеграл

дифференцируйте в направлении дельта-функции:)

[Ales]

undeddy в сообщении #387476 писал(а):

В том смысле, что нельзя ли "как-то" продифференцировать данный функционал, чтобы "ушёл" интеграл.

Вам надо что-то почитать про вариационное исчисление. Теоретическая механика, кривая наискорейшего спуска.

Представьте что $\alpha =1$.
Тогда Ваша функция $F$ - просто интеграл по отрезку, функция линейная по $x()$.

Что такое по Вашему производная?
Как должна выглядеть производная для линейной функции?

[Gortaur]

Насколько я помню, производной в смысле градиента (т.е. независимо от направления) для этого случая не придумали, а с производной по направлению все ок - в любой книге по вариационному исчислению формула и мотивация есть (а также связь и аналогии с производной функции действительных переменных). От себя посоветую Эльсгольца, вторая часть книги - там довольно понятно изложено.

[paha]

Gortaur в сообщении #387594 писал(а):

От себя посоветую Эльсгольца, вторая часть книги - там довольно понятно изложено.

там -- избавление от интегралов?

[Gortaur]

А, ну в первой части по-любому, так как там дифуры но так как мы не про эту тему, то отмечу. в Эльсгольце, как и в производной по направлении интеграл остается. А все потому, что избавление от интеграла происходит в случаях везения - переменного верхнего предела. Если же мы ищем изменение от того, что внутри интеграла, от интеграла мы не отделаемся (как и для диффрернцирование интеграла по параметру).

(Оффтоп)

Избавление от интегралов - просто как колдовство какое-то звучит.

[paha]

Gortaur в сообщении #387597 писал(а):

Избавление от интегралов - просто как колдовство какое-то звучит.

я же сказал как избавиться:

paha в сообщении #387479 писал(а):

дифференцируйте в направлении дельта-функции:

[undeddy]

Спасибо.

[Gortaur]

paha в сообщении #387598 писал(а):

я же сказал как избавиться:

paha в сообщении #387479 писал(а):

дифференцируйте в направлении дельта-функции:

Во-во, и я про то же так как есть дифференцирование по направлению дельта (колдвоской между прочим) функции заключается в том, что меняем значение исходной функции лишь в одной точке.