Эквивалентные определения топологии

[Виктор Викторов]

Как известно, существуют, по крайней мере, четыре эквивалентных способа задать топологию на множестве.
1. Через открытые множества.
2. Через замкнутые множества.
3. С помощью окрестностей.
И 4. С помощью оператора замыкания (аксиомы Куратовского). На множестве $T$ задается оператор замыкания, который ставит в соответствие каждому подмножеству $A$ некоторое подмножество $A^c\subseteq T$ так, что для любых множеств $A$ и $B$ (подмножества множества $T$) выполняются следующие четыре аксиомы:
(а) $\varnothing^c=\varnothing$,
(б) для каждого $A$ $A\subseteq A^c$,
(в) для каждого $A$ $A^{cc}=A^c$,
(г) для любых $A$ и $B$ $(A \cup B)^c=A^c \cup B^c$.
Тогда на множестве $T$ задана топология и множество называют замкнутым тогда и только тогда, когда $A=A^c$.
Но по двойственности существуют следующие четыре свойства:
(а) $Int(T)=T$,
(б) для каждого $A$ $Int(A)\subseteq A$,
(в) для каждого $A$ $Int(Int(A))=Int(A)$,
(г) для любых $A$ и $B$ $Int(A \cap B)=Int(A) \cap Int(B)$.
Тогда (как мне кажется) можно также и с помощью оператора внутренности однозначно задать топологию. И тут я сообразил, что я нигде не видел ничего подобного. Так вот и вопрос: Прав я или заврался?

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #387573 писал(а):

Тогда (как мне кажется) можно также и с помощью оператора внутренности однозначно задать топологию. И тут я сообразил, что я нигде не видел ничего подобного

можно -- см., напр., задачник
Название: Элементарная топология
Автор: Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю.
Издательство: СПГУ
Год издания: 2007
это предпоследнее издание... первое -- начало 80-х

хотя, разумеется, не они первые... это фольклор

[moscwicz]

Топологию можно определять заданием множества компактов. Т.е. выбрать некоторое семейство множеств, а потом рассмотреть сильнейшую топологию в которой эти множества компактны.

Гипотеза. Любую топологию можно задать таким способом.

[paha]

moscwicz в сообщении #387596 писал(а):

топологию в $X$ можно определять заданием пространства непрерывных функций $f:X\to\mathbb{R}$

боюсь, только для хаусдорфовых (и -- дополнительно -- локально компактных?): есть много негомеоморфных пространств, на которых любая непрерывная функция со значениями в $\mathbb{R}$ -- константа
например, любое непрерывное отображение из прямой с топологией Зарисского в прямую с канонической топологией -- постоянно; ослабляя топологию на нашем пространстве получаем негомеоморфные равномощные топологические пространства с одинаковыми алгебрами функций

и не пространства, а алгебры:))) там же главные идеалы рулят

(Оффтоп)

moscwicz в сообщении #387596 писал(а):

Гипотеза 2
топологию можно определять заданием множества компактов

это неправда: возьмите конечное множество с разными топологиями -- все множества компактны

-- Ср дек 15, 2010 00:12:57 --

moscwicz в сообщении #387602 писал(а):

Топологию можно определять заданием множества компактов. Т.е. выбрать некоторое семейство множеств, а потом рассмотреть сильнейшую топологию в которой эти множества компактны.

Гипотеза. Любую топологию можно задать таким способом.

тогда все топологии на конечных пространствах -- дискретные

-- Ср дек 15, 2010 00:25:43 --

moscwicz в сообщении #387604 писал(а):

А единственна ли вообще эта сильнейшая топология?

в смысле -- Вы ставите вопрос: существуют ли две несравнимые топологии на множестве $X$, в которых данные множества компактны?

в общем случае ответ: да, существуют (если все данные множества конечны, например... но и нетривиальные примеры, думаю, есть)

[moscwicz]

У Вас хорошая реакция, Вы отвечаете на посты быстрее чем я их тру.

[paha]

(Оффтоп)

просто стакан наполовину пуст... растягиваю удовольствие:)

я свои сообщения и редактировать успеваю:^)

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #387578 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #387573 писал(а):

Тогда (как мне кажется) можно также и с помощью оператора внутренности однозначно задать топологию. И тут я сообразил, что я нигде не видел ничего подобного

можно -- см., напр., задачник
Название: Элементарная топология
Автор: Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю.
Издательство: СПГУ
Год издания: 2007
это предпоследнее издание... первое -- начало 80-х

хотя, разумеется, не они первые... это фольклор

Спасибо. А кто первый не суть важно. Это ведь очевидно (более менее).

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #387618 писал(а):

Спасибо. А кто первый не суть важно. Это ведь очевидно (более менее).

а вот насчет алгебры непрерывных функций, на которую moscwicz
указал -- это важная фича... там и всякие компактификации и прочее

в хороших случаях каноническая топология на множестве главных идеалов возвращает нам наше топологическое пространство

[Padawan]

Виктор Викторов в сообщении #387573 писал(а):

Тогда (как мне кажется) можно также и с помощью оператора внутренности однозначно задать топологию. И тут я сообразил, что я нигде не видел ничего подобного.

К. Куратовский Топология, с. 66. Там написано, что можно и через границу задать топологию.

[Виктор Викторов]

Padawan в сообщении #387637 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #387573 писал(а):

Тогда (как мне кажется) можно также и с помощью оператора внутренности однозначно задать топологию. И тут я сообразил, что я нигде не видел ничего подобного.

К. Куратовский Топология, с. 66. Там написано, что можно и через границу задать топологию.

Padawan!
Сноску на странице 66 я, конечно, прочел последней. Куратовский пишет об использовании свойств операции взятия внутренности для определения топологии. И в сноске упоминает идею об определении через границу.

[Someone]

В пункте 3 какие окрестности имеются в виду?
Открытые окрестности.
Произвольные окрестности.
Это формально разные способы, хотя и похожие.

Ещё способы, общеизвестные, но почему-то забытые:
открытая база;
замкнутая база;
открытая предбаза;
замкнутая предбаза.
Может, кто-нибудь ещё что-нибудь вспомнит.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #387796 писал(а):

В пункте 3 какие окрестности имеются в виду?
Открытые окрестности.
Произвольные окрестности.
Это формально разные способы, хотя и похожие.

Под окрестностью я понимаю: «Подмножество $U$ топологического пространства $(X, F)$ называется окрестностью ($F$-окрестностью) точки $x$ тогда и только тогда, когда в $U$ лежит открытое множество, содержащее $x$. … Каждая окрестность точки содержит открытую окрестность этой точки.» Джон Л. Келли «Общая Топология». Перевод с английского А. В. Архангельского. Издание второе. Москва «Наука» 1981. Страница 62.
А определение топологии из Н. БУРБАКИ "ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ" страницы19-20.

[Null]

Виктор Викторов в сообщении #387573 писал(а):

И 4. С помощью оператора замыкания (аксиомы Куратовского). На множестве $T$ задается оператор замыкания, который ставит в соответствие каждому подмножеству $A$ некоторое подмножество $A^c\subseteq T$ так, что для любых множеств $A$ и $B$ (подмножества множества $T$) выполняются следующие четыре аксиомы:
(а) $\varnothing^c=\varnothing$,
(б) для каждого $A$ $A\subseteq A^c$,
(в) для каждого $A$ $A^{cc}=A^c$,
(г) для любых $A$ и $B$ $(A \cup B)^c=A^c \cup B^c$.
Тогда на множестве $T$ задана топология и множество называют замкнутым тогда и только тогда, когда $A=A^c$.

А как из этого выводиться что пересечение бесконечного количества замкнутых множеств замкнуто?

[paha]

Null в сообщении #387871 писал(а):

А как из этого выводиться что пересечение бесконечного количества замкнутых множеств замкнуто?

сначала доказать, что $A\subset B$ влечет $A^c\subset B^c$

теперь пусть $\{F_i\}$ -- совокупность замкнутых множеств

$\bigcap_{i}F_i\subset F_j$ поэтому $(\bigcap_{i}F_i)^c\subset F_j^c=F_j$ $\forall j$,

поэтому $(\bigcap_{i}F_i)^c\subset \bigcap_{j}F_j$,

поэтому $(\bigcap_{i}F_i)^c= \bigcap_{j}F_j$

-- Ср дек 15, 2010 22:22:20 --

Null в сообщении #387871 писал(а):

Тогда на множестве $T$ задана топология и множество называют замкнутым тогда и только тогда, когда $A=A^c$.

лучше так: тогда множества, для которых $A=A^c$, образуют совокупность замкнутых множеств некоторой топологии, причем данная операция $A\mapsto A^c$ совпадает с операцией замыкания в этой топологии