Приближенно вычислить определенный интеграл.

[Tatka18]

$\int\limits_{2}^{4} \frac {dx}{(x^3+1)}$

я заменила $x^3=t$ ,
использовала готовое разложение Тейлора $(1+t)^m$ при m=-1
получилось $(1+t)^m=(1-t+t^2-t^3+...+(-1)^n t^n+...)$
дальше я перешла к $x^3$, проинтегрировала,потом подставила границы интегрирования и получился такой бред...
может я не правильно подставляла? Нужно подставлять к конечному: $(-1)^n t^n$ и высчитывать...
Подскажите пожалуйста как правильно сделать) буду очень вам благодарна)

[ИСН]

Когда такое разложение годится, при каких t?

[ewert]

Делать замену не надо, а вот что надо -- так это вынести икс в кубе внизу за скобки. Оставшаяся сумма будет порождать (в отличие от исходной) уже достаточно прекрасно сходящуюся геометрическую прогрессию.

(ну т.е. идея в том, что раз не получается раскладывать по положительным степеням иксов -- так разложим по отрицательным)

[Tatka18]

$\int_{2}^{4}\frac {dx}{1+x^{3}}$
я вынесла $x^3 $ за скобки в знаменателе, получилось
$\frac {1}{x^{3}}$$\frac{1}{1+1/x^3}$
$\frac{1}{1+1/x^3}=\sum_{n=0}^{+\infty} (\frac {-1}{x^3})^n$
что дальше делать? и что делать с $\frac {1}{x^3}$ тоже заменить?
$\frac {1}{(x^3-1)+1}=\sum_{n=0}^{+\infty} (x^3-1)^n$
вот, а что дальше делать?

[ИСН]

после слов "что дальше делать?" надо было интегрировать.

[Tatka18]

Ну да, я поняла,что надо интегрировать, просто у меня вопрос возник...
$\int_{2}^{4}\frac {dx}{1+x^{3}}$=\int_{2}^{4}\sum_{n=0}^{+\infty} (\frac {-1}{x^3})^n\sum_{n=0}^{+\infty} (x^3-1)^n dx$$$ так?

[ewert]

До сих пор

Tatka18 в сообщении #386692 писал(а):

$\frac {1}{x^{3}}$$\frac{1}{1+1/x^3}$
$\frac{1}{1+1/x^3}=\sum_{n=0}^{+\infty} (\frac {-1}{x^3})^n$

Всё замечательно. А вот дальше:

Tatka18 в сообщении #386692 писал(а):

$\frac {1}{(x^3-1)+1}=\sum_{n=0}^{+\infty} (x^3-1)^n$

-- никуда не годится. Чего Вы этим добиватесь-то?... Надо было просто раскрыть скобки.

[ИСН]

после слов "что дальше делать?" надо было немедленно, больше ничего не преобразуя, интегрировать.

(Оффтоп)

...даже не читая предыдущих глав, даже не прочитав фразы «и немедленно выпил»...

[Tatka18]

Спасибо Всем большое :)

[Aleksandrito]

Если нигде не ошибся, то ответ должен быть: I=0.0881;
C более высокой точностью (0.08813034908543);

[Gortaur]

(Оффтоп)

У нас похоже появился Капитан-Я-Все-Решу-Пусть-Даже-Численно-Когда-Надо-Аналитически