Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням

[Malina]

Дана функция $$f(x) = \frac{(x-3)}{(x^2+3x-10)}$ ; $x_0=-1$
Необходимо разложить по степеням $(x-x_0)$.
Скажите пожалуйста с чего начать?
С замены $(x+1)=t$?

[Everest]

Верно :) Подставляйте теперь эту замену :)

-- Вс дек 12, 2010 16:42:53 --

Потом соответственно можно разложить на простые дроби и воспользоваться стандартными разложениями. Ну и естественно под конец вернуться к переменной $x$

[Malina]

$x+1=t$, отсюда $x=t-1$, далее
$f(t)= \frac{t-4}{t^2+t-12}$ , потом я нашла корни знаменателя $t_1=3, t_2=-4$, подставила и получила $f(t)=\frac{t-4}{(t+4)(t-3)}$,
потом с помощью неопределенных коэффициентов:
$\frac{(t-4)}{(t+4)(t-3)}=\frac{A}{(t+4)}+\frac{B}{(t-3)}}$, нашла A и B:
$A=\frac{8}{7}$ и $B=\frac{-1}{7}$
подставила A и B в функцию $f(t)=\frac{8}{7}\frac{1}{t+4}-\frac{1}{7}\frac{1}{t-3}$.
Потом что делать? Переходить к $x$, подставляя $t=x+1$?
Я перешла к $x$,вот что получилось:
$f(x)=\frac{8}{7}\frac{1}{x+5}-\frac{1}{7}\frac{1}{x-2}$ далее
$\frac{1}{x+5}=(x+5)^{-1}=(\frac{x}{5}+1)^{-1}$
$\frac{1}{x-2}=(x-2)^{-1}=(\frac{-x}{2}+1)^{-1}$
потом как я понимаю по биноминальному разложению?) Вот с этим у меня небольшие проблемы(((
Как я понимаю нужно использовать конечный вид разложения?да?)) $(1+x)^m=\sum \frac {m(m-1)...(m-n+1)}{n!}x^n$
Помогите пожалуйста)

-- Вс дек 12, 2010 16:41:53 --

Итак, дальше тут вот подумала и вот,что получилось:
$(\frac{x}{5}+1)^{-1}=\sum \frac {(-1)(-2)(-3)...(-n)}{n!}(\frac{x}{5})^n$
$(\frac{-x}{2}+1)^{-1}=\sum \frac {(-1)(-2)(-3)...(-n)}{n!}(\frac{-x}{2})^n$
$(-1)(-2)(-3)...(-n)$ - это $(-1)n!$ верно??
$(\frac{x}{5}+1)^{-1}=\sum \frac {(-1)n!}{n!}(\frac{x}{5})^n$
$(\frac{-x}{2}+1)^{-1}=\sum \frac {(-1)n!)}{n!}(\frac{-x}{2})^n$
подставляем в формулу:$f(x)=\frac {8}{7}\sum (-1)(\frac{x}{5})^n-\frac {1}{7}\sum (-1)(\frac{-x}{2})^n$
Дальше $n=122, x_0=-1$
$f^{122}(-1)=-\frac {8}{35}+\frac{1}{14}=-\frac{11}{70}$

[Malina]

нашла ошибку у себя...
$f^{122}(-1)=-\frac{8}{7}\frac{1}{5^{122}}+\frac{1}{7}\frac{1}{2^{122}}$
а как высчитать $\frac{1}{5^{122}}$ и $\frac{1}{2^{122}}$ ?

[paha]

Malina в сообщении #386550 писал(а):

ашла ошибку у себя...
$f^{122}(-1)=-\frac{8}{7}\frac{1}{5^{122}}+\frac{1}{7}\frac{1}{2^{122}}$
а как высчитать $\frac{1}{5^{122}}$ и $\frac{1}{2^{122}}$ ?

это чушь какая-то... используйте формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

$$ \frac{1}{1+A}=\sum_{n=0}^{+\infty} (-A)^n $$

[Malina]

Спасибо)))