Подскажите, пожалуйста, как найти предел

[Иван_85]

Подскажите, пожалуйста, как найти предел:
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^3\sin{n}}=?$.

[ewert]

Если он хоть чему-то равен, то он равен, естественно, нулю. Но доказать, что он хоть чему-то равен (если это и впрямь факт) -- довольно тяжёлая задача, я лично не берусь тратить на это время. В любом случае -- задача явно не учебная.

[venco]

Сходимость предела к нулю зависит от того, как ассимптотически убывает минимальная погрешность рациональных приближений $\pi$. Если медленнее, чем $n^{-4}$, то будет сходится, иначе - нет.

[ИСН]

Мера иррациональности $\pi$ (а речь о ней) - открытая проблема.

[ewert]

(Оффтоп)

Ну там, возможно, дело облегчается тем, что делится на куб, а не на квадрат, присутствующий в стандартных оценках рациональных приближений... Не знаю. Но в любом случае считаю, что эта задачка как учебная (если она и впрямь учебная) -- неспортивеа.

[ИСН]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #385871 писал(а):

делится на куб, а не на квадрат

Именно это-то и переводит её в открытую проблему.

[venco]

Кстати, а известный нижний предел меры рациональности $\pi$ больше 2?

[RIP]

venco в сообщении #385878 писал(а):

Кстати, а известный нижний предел меры рациональности $\pi$ больше 2?

нет. Не уверен даже, что известно что-нибудь лучше тривиальной оценки $\liminf\limits_{q\to\infty}q\|q\pi\|\le1/3$.