Числа между квадратами

[Xenia1996]

Не помню, откуда взяла. Кажется, с одной из ленинградских олимпиад.

Верно ли, что строго между двумя соседними полными квадратами всегда найдутся три попарно различных натуральных числа таких, что сумма квадратов некоторых двух из них делится на третье (исключение составляют лишь промежутки между 0 и1 и между 1 и 4)?

(Решение - здесь. Не подглядывать)

Попыталась доказать.
Пусть $n>1$ и $n^2$ и $(n+1)^2$ - полные квадраты. Возьмём числа $m=n^2+1$, $m+1$ и $m+n$ (Эти три числа попарно различны и лежат строго между $n^2$ и $(n+1)^2$, так как $(n+1)^2=n^2+2n+1>n^2+n+1$). Тогда $(m+1)^2+(m+n)^2=m^2+2m+1+m^2+2mn+n^2=2m^2+2mn+2m+n^2+1$ делится на $m$, так как $m=n^2+1$.
Например: для $n=2$ $6^2+7^2$ делится на 5, для $n=3$ $11^2+12^2$ делится на 10, для $n=4$ $18^2+21^2$ делится на 17.

[caxap]

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #385752 писал(а):

(Решение - здесь. Не подглядывать)

Вот так никакого стимула решать нет... Не знаю, как другие, а у меня силы воли не хватает, чтобы не посмотреть решение. А когда посмотрел, уже и решать самому неинтересно.

Чтобы привлекать к задачам таких как я, советую не публиковать решение заранее.

[Xenia1996]

caxap в сообщении #385771 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #385752 писал(а):

(Решение - здесь. Не подглядывать)

Вот так никакого стимула решать нет... Не знаю, как другие, а у меня силы воли не хватает, чтобы не посмотреть решение. А когда посмотрел, уже и решать самому неинтересно.

Чтобы привлекать к задачам таких как я, советую не публиковать решение заранее.

(Оффтоп)

Простите, не учла человеческий фактор. Забыла, что у людей ещё и воля есть. Но я - тоже человек, и у меня тоже имеются свои комплексы. Например, мне кажется, что если я опубликую задачу, но не опубликую её решение, люди подумают, что я не смогла решить.

[yk2ru]

Xenia1996 в сообщении #385752 писал(а):

$11^2+12^2$ делится на 10

Это правильно или там ошибка?
$11^2+13^2$ делится на 10

[Xenia1996]

yk2ru в сообщении #386206 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #385752 писал(а):

$11^2+12^2$ делится на 10

Это правильно или там ошибка?
$11^2+13^2$ делится на 10

Не ошибка, а очепатка

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #385752 писал(а):

Не помню, откуда взяла. Кажется, с одной из ленинградских олимпиад.

Верно ли, что строго между двумя соседними полными квадратами всегда найдутся три попарно различных натуральных числа таких, что сумма квадратов некоторых двух из них делится на третье (исключение составляют лишь промежутки между 0 и1 и между 1 и 4)?

(Решение - здесь. Не подглядывать)

Попыталась доказать.
Пусть $n>1$ и $n^2$ и $(n+1)^2$ - полные квадраты. Возьмём числа $m=n^2+1$, $m+1$ и $m+n$ (Эти три числа попарно различны и лежат строго между $n^2$ и $(n+1)^2$, так как $(n+1)^2=n^2+2n+1>n^2+n+1$). Тогда $(m+1)^2+(m+n)^2=m^2+2m+1+m^2+2mn+n^2=2m^2+2mn+2m+n^2+1$ делится на $m$, так как $m=n^2+1$.
Например: для $n=2$ $6^2+7^2$ делится на 5, для $n=3$ $11^2+12^2$ делится на 10, для $n=4$ $18^2+21^2$ делится на 17.

Это Санкт-Петербург, 1998, отборочный тур, 10 класс.