вычислить интеграл

[Xoma]

Обьясните пожалуйста решение
3785 в Демидовиче
Пользуясь формулой

$$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^2+a}=\frac{\pi}{2\sqrt[]{a}} $$

вычислить интеграл

$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+a)^{n+1}}$$

где n натуральное число
В антидемидовиче нашел решение там написанно
Формально дифф по a левую и правую часть данной в условии функции имеем

$$(-1)^nn!\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+a)^{n+1}}=(\frac{\pi}{a})(a^{\frac{1}{2}})^n =\frac{(-1)^nn!(2n-1)!!}{(2n)!!(a^n)2\sqrt[]{a}} $$

Далее доказывают дифф функции
Я не понимаю как они получили третье выражения там с факториалами
Можете пожалуйста расписать как они это получили
Заранее благодарен

[paha]

а зачем звездочки? лучше просто \cdot, если уж так хочется умножить... и степени нормально расставьте

-- Пт дек 10, 2010 01:33:35 --

и не надо скобками $(-1)^n$ окружать -- некрасиво:(

[Xoma]

Все исправил есть идеи как они это получили?

[paha]

Вы первый интеграл продифференцируйте $n$ раз

-- Пт дек 10, 2010 02:45:52 --

слева и справа

[Xoma]

ну продифференцировал а как они получили третье равенство с двойными факториалами?
Напишите пожалуйста по каким формулам они это сделали

[ИСН]

В третьем равенстве Вы пытаетесь оперировать выражениями большей сложности, чем влезает в стэк. Запомните это ощущение и больше так не делайте.

[Xoma]

ИСН Всмысле? Как мне обьяснить преподователю откуда это взялось?
и так написанно в ответах
Напишите пожалуйста формулу по которой это получилось,уже сдавать скоро

[gris]

Странно, а куда девалось пи?

[ИСН]

Не влезло в стэк, я же говорю.

[paha]

Xoma в сообщении #385647 писал(а):

ну продифференцировал а как они получили третье равенство с двойными факториалами?

если продифференцировали, то ответ у Вас в кармане...

Вот, так должно быть:

Xoma в сообщении #385595 писал(а):

$$(-1)^nn!\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+a)^{n+1}}=\frac{\pi}{2}\left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^{(n)} =\frac{(-1)^n\pi n!(2n-1)!!}{(2n)!!(a^n)2\sqrt{a}} $$

теперь понятно?

Эти факториалы -- всего лишь $n$-ая производная от $a^{-1/2}$

[ewert]

paha в сообщении #385675 писал(а):

Вот, так должно быть:

Xoma в сообщении #385595 писал(а):

$$(-1)^nn!\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+a)^{n+1}}=\frac{\pi}{2}\left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^{(n)} =\frac{(-1)^n\pi n!(2n-1)!!}{(2n)!!(a^n)2\sqrt{a}} $$

теперь понятно?

Эти факториалы -- всего лишь $n$-ая производная от $a^{-1/2}$

Боюсь, что всё равно не очень понятно. Вот как должно быть:

$$(-1)^nn!\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+a)^{n+1}}=\frac{\pi}{2}\left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^{(n)} =\frac{(-1)^n\pi (2n-1)!!}{2^n\cdot a^{n+{1\over2}}\cdot2} $$

А то, что выше -- лишь никому не нужное украшательство.

[paha]

ewert в сообщении #385727 писал(а):

А то, что выше -- лишь никому не нужное украшательство

я думаю, авторы решебника просто использовали общую формулу для $n$-ой производной $x^p$ (через гамма-функции), откуда и ответ такой. Т.е. это не украшательство, а причиндал метода решения.

хотя, разумеется, проще производную руками вычислить и получить эти $2^n$ в знаменателе