Сходимость ряда

[altro]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста со следующим вопросом.

Необходимо найти все значения $k$, при которых ряд сходится:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(e-(1+\frac{1}{n^2})^{n^2})^k}{\ln^2n}$

Ясно, что при $k < 0$ ряд расходится. И можно ли заменить общий член на эквивалентный: $\frac{e^k(1-n^2\ln(1+1/n^2))^k}{\ln^2n}$?

Пробовал воспользоваться признаком Даламбера, но в пределе получается 1, значит использовать признак Коши уже не имеет смысла. Если использовать метод Гаусса, то непонятно, как получить нужную форму. Вот, что получилось после разложения по формуле Тейлора:

$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(e-(1+\frac{1}{n^2})^{n^2})^k}{(e-(1+\frac{1}{(n+1)^2})^{(n+1)^2})^k}*\frac{\ln^2(n+1)}{\ln^2n} = (\frac{\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{2(n+1)^2}+o(\frac{1}{(n+1)^2})})^k*(1+\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\ln n})^2$

Помогите пожалуйста...

[ewert]

altro в сообщении #384889 писал(а):

И можно ли заменить общий член на эквивалентный:

Можно. Только надо это аккуратно обосновать.

altro в сообщении #384889 писал(а):

Вот, что получилось после разложения по формуле Тейлора:

Вообще-то по Тейлору получается гораздо проще. Раскладывайте просто числитель в предыдущем выражении.

[altro]

Тогда:
$\frac{e^k(1-n^2\ln(1+1/n^2))^k}{\ln^2n} = \frac{e^k(1-n^2(\frac{1}{n^2}^2-\frac{1}{2n^4}+o(\frac{1}{n^4})))^k}{\ln^2n} = \frac{e^k(\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))^k}{\ln^2n}$

Только, что с этим делать дальше не понятно...

[altro]

Так как можно дальше действовать? Хоть идеи какие нибудь....

[ИСН]

Ну представьте, что этого о-малого там нету. Сгинуло. Исчезло. Ноль.
Тогда как?

[altro]

ИСН в сообщении #385088 писал(а):

Ну представьте, что этого о-малого там нету. Сгинуло. Исчезло. Ноль.

Это по эквивалентности так получается?
Тогда получится, что $a_n = (\frac{e}{2})^k\frac{1}{n^{2k}\ln^2n}$
Далее по признаку сравнения при $k > 1/2$ сходится. При $k = 1/2$ сходится по интегральному признаку. А вот как доказать что при остальных $k$ расходится никак не пойму...

-- Чт дек 09, 2010 01:31:07 --

altro в сообщении #385116 писал(а):

А вот как доказать что при остальных $k$ расходится никак не пойму...

А всё понял как надо оценить...
Только один вопрос остался: убрали о-малое по эквивалентности?

[Sonic86]

altro писал(а):

Только один вопрос остался: убрали о-малое по эквивалентности?

в общем случае возведите в $k$-ю степень, уберите лишнее и посмотрите, что теперь получится в $o()$ и скажите - как это повлияет.

[SeRgOFFaN]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста исследовать на сходимость числовой ряд с положительными членами, используя достаточные признаки сходимости.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n^2+n}$

и

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}*(\frac{n-3}{n+3})^{n^2+2n}$


Завтра с утра экзамен а контрольную на доработку.
Помогите пожалуйста...

[Joker_vD]

$$ \frac{1}{3n^2+n} \leqslant \frac{1}{n^2}$$

$$ \frac{1}{3^n} \left(\frac{n-3}{n+3}\right)^{n^2+2n} \leqslant \frac{1}{3^n}$$

Все это очень просто доказывается.

(Оффтоп)

А вообще под новый вопрос лучше заводить новую тему.

[altro]

SeRgOFFaN в сообщении #386529 писал(а):

Здравствуйте. Помогите пожалуйста исследовать на сходимость числовой ряд с положительными членами, используя достаточные признаки сходимости.

А зачем в МОЕЙ теме задавать вопрос? Нельзя создать новую тему?

[SeRgOFFaN]

Цитата:

А зачем в МОЕЙ теме задавать вопрос? Нельзя создать новую тему?

Ну извини, не знал что можно на этом форуме создавать новые темы. Небыло времени читать правила форума.