Несобственный интеграл

[Joker_vD]

nevero в сообщении #382621 писал(а):

но формально как записать.... непонятно мне.

Синус непрерывно меняется от $-1$ до $1$ за промежуток от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.

[ИСН]

Ну ёлки, ну запишите этот интеграл по периоду и с помощью какой-нибудь там замены переменной покажите, что он равен минус самому себе.

[nevero]

Тогда так верно будет:

$|\int_1^{+\infty}\tg( \sin t) dt|=|\int_1^{\pi}\tg( \sin t)dt + \sum_{n=0}^{+\infty}(\int_{\pi+2\pi n}^{2\pi+2\pi n}\tg(\sin t)dt + \int_{2\pi+2\pi n}^{3\pi+2\pi n}\tg(\sin t)dt)| = |\int_1^{\pi}\tg( \sin t)dt| \le (\pi - 1)\tg 1$

так как:

$\int_{2\pi+2\pi n}^{3\pi+2\pi n}\tg(\sin(t-\pi + \pi))dt = -\int_{2\pi+2\pi n}^{3\pi+2\pi n}\tg(\sin(t-\pi))dt = \int_{\pi+2\pi n}^{2\pi+2\pi n}\tg(\sin t)dt$

[nevero]

Так это утверждение верно или нет?

[nevero]

Я правильно написал или нет?

[svv]

В последнем переходе знак потерялся. Но на результат подстановки в основное выражение это не повлияло (видно, потом знак опять нашелся).

[nevero]

svv в сообщении #383209 писал(а):

В последнем переходе знак потерялся.

Да потерялся, вот правильно:
$\int_{2\pi+2\pi n}^{3\pi+2\pi n}\tg(\sin(t-\pi + \pi))dt = -\int_{2\pi+2\pi n}^{3\pi+2\pi n}\tg(\sin(t-\pi))dt = - \int_{\pi+2\pi n}^{2\pi+2\pi n}\tg(\sin t)dt$

[svv]

(Оффтоп)

Я почувствовал, что если я сейчас не найду хоть какую-нибудь ошибку, меня разорвут. (Шутка )

[nevero]

Хорошо, с этим вопросом я разобрался. Однако остался ещё один: как теперь доказать, что при $k \le -2$ этот приведённый интеграл расходится:
$\int_{1}^{+\infty} \frac{\tg \sin t}{t^{k+2}}dt$
Доказывать расходимость надо отрицанием критерия Коши, но в процессе оценки возникают проблемы, так как этот интеграл тангенса от синуса не взять... как быть дальше я не знаю.

[Null]

Можно так: при $2\pi k+\pi/6<t<2\pi k+5\pi/6$, $sin(t)>0.5$

[nevero]

Null в сообщении #383315 писал(а):

Можно так: при $2\pi k+\pi/6<t<2\pi k+5\pi/6$, $sin(t)>0.5$

Спасибо за мысль.