Равномерная сходимость несобственного интеграла

[altro]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста со следующим вопросом.

Необходимо исследовать на равномерную сходимость на $-\infty < k < +\infty$:

$\int_{0}^{+\infty}\cos(x^2)\arctg(kx)dx$

По признаку Дирихле я предлагаю следующее решение:

$\int_{0}^{+\infty}\cos(x^2)\arctg(kx)dx = \int_{0}^{+\infty}2x\cos(x^2)\frac{\arctg(kx)}{2x}dx$
1. $x\cos(x^2)$ - непрерывна по $x$.
2. Множество первообразных равномерно ограничены: $|\int_{0}^{+\infty}2x\cos(x^2)dx| = |sin(x^2)|_{0}^{+\infty}| \le 1$
3. Существует частная производная по $x$ от $\frac{\arctg(kx)}{x}$.
4. При достаточно больших $x$ частная производная знакопостояная.
5. Семейство функций $\frac{\arctg(kx)}{x} \to 0$ при $x \to +\infty$ равномерно относительно $k$.

Это правильно?

[ewert]

altro в сообщении #381326 писал(а):

Это правильно?

Не совсем:

altro в сообщении #381326 писал(а):

4. При достаточно больших $x$ частная производная знакопостояная.

Этого недостаточно: нужно, чтобы границу монотонности для $x$ можно было выбрать независящей от $k$, а Вы этого не доказали. Остальное вроде верно (разве что двойка в п.2 потеряна, но это неважно).

[altro]

ewert в сообщении #381331 писал(а):

Этого недостаточно: нужно, чтобы границу монотонности для $x$ можно было выбрать независящей от $k$

Не совсем понимаю, как это сделать.

[ewert]

altro в сообщении #381338 писал(а):

Не совсем понимаю, что как это сделать.

Очень просто: доказывайте, что эта дробь монотонна вообще при всех иксах (тогда $k$ можно и выкинуть; а если бы это оказалось не так, то Ваше доказательство просто не проходило бы).

(Во-первых, монотонность очевидна графически, а во-вторых, можно и с производными чуть-чуть покрутиться.)

[Padawan]

Тут лучше признак Абеля применить. $\arctg kx$ равномерно ограничена и монотонна при $x\to+\infty$ при каждом фиксированном значении $k$.

[altro]

Спасибо за помощь. Вроде всё прояснилось и стало понятно.