Интересное задание (школьная олимпиада для 11-тых классов)

[Tlalok]

Задание состоит в том чтобы найти сумму:
$1!\cdot 3-2!\cdot 4+3!\cdot 5-4!\cdot 6+5!\cdot 7- ... - 2004!\cdot 2006 + 2005!$

[MrDindows]

(Оффтоп)

$n!(n+2)-(n+1)!(n+3)=n!+(n+1)!-(n+1)!-(n+2)!=n!-(n+2)!$

[Tlalok]

MrDindows в сообщении #380083 писал(а):

(Оффтоп)

$n!(n+2)-(n+1)!(n+3)=n!+(n+1)!-(n+1)!-(n+2)!=n!-(n+2)!$

Рискую показаться глупым, но я не понял как получилось выражение после первого знака равенства.

-- Ср ноя 24, 2010 21:52:03 --

Скажу сразу. Ответ 1.
Я его получил при помощи Maple 13.
После этого стал анализировать содержимое и выяснилось, что:
$1!\cdot 3-2!\cdot 4+3!=1$
$1!\cdot 3-2!\cdot 4+3!\cdot 5-4!\cdot 6+5!=1$
и т.д.
Но это отнюдь не очевидно. У меня нет НИКАКИХ идей для доказательства.

[ИСН]

n+2 = (n+1)+1

-- Ср, 2010-11-24, 23:55 --

вот тайна MrDindows

[Tlalok]

ИСН в сообщении #380114 писал(а):

n+2 = (n+1)+1

-- Ср, 2010-11-24, 23:55 --

вот тайна MrDindows

Спасибо!

[caxap]

Tlalok в сообщении #380108 писал(а):

После этого стал анализировать содержимое и выяснилось, что:
...
У меня нет НИКАКИХ идей для доказательства.

Если вы заметили закономерность, то одна идея должна появиться автоматически -- индукция.

[Tlalok]

caxap в сообщении #380126 писал(а):

Tlalok в сообщении #380108 писал(а):

После этого стал анализировать содержимое и выяснилось, что:
...
У меня нет НИКАКИХ идей для доказательства.

Если вы заметили закономерность, то одна идея должна появиться автоматически -- индукция.

Я плохо знаком с математической индукции. Кроме того, ученики 11-го класса не знакомы с ним вовсе. А ведь именно для них составлено это задание

[MrDindows]

Почему-то мы учили этот метод в школе в начале 10го класса)

[Tlalok]

MrDindows в сообщении #380138 писал(а):

Почему-то мы учили этот метод в школе в начале 10го класса)

Я в 1997 году закончил обычную среднюю школу и мы не учили ничего даже приблизительно напоминающего математическую логику.

[ИСН]

Это всё может быть интересно, но мимо, ибо MrDindows, в сущности, уже привёл решение.

[Tlalok]

ИСН в сообщении #380144 писал(а):

Это всё может быть интересно, но мимо, ибо MrDindows, в сущности, уже привёл решение.

Где же оно?

[MrDindows]

В моём первом посте)

-- Чт ноя 25, 2010 00:16:06 --

$n!(n+2)-(n+1)!(n+3)=n!(n+1+1)-(n+1)!(n+2+1)=(n+1)!+n!-(n+2)!-(n+1)!=n!-(n+2)!$
Тоесть ваше выражение:
$(1!\cdot3-2!\cdot4)+(3!\cdot5-4!\cdot6)+(5!\cdot7-6!\cdot8)+...+(2003!\cdot2005-2004!\cdot2007)+2005! = 1!-3!+3!-5!+5!-7!+...+2003!-2005!+2005!=1$

[Tlalok]

MrDindows в сообщении #380147 писал(а):

В моём первом посте)

-- Чт ноя 25, 2010 00:16:06 --

$n!(n+2)-(n+1)!(n+3)=n!(n+1+1)-(n+1)!(n+2+1)=(n+1)!+n!-(n+2)!-(n+1)!=n!-(n+2)!$
Тоесть ваше выражение:
$(1!\cdot3-2!\cdot4)+(3!\cdot5-4!\cdot6)+(5!\cdot7-6!\cdot8)+...+(2003!\cdot2005-2004!\cdot2007)+2005! = 1!-3!+3!-5!+5!-7!+...+2003!-2005!+2005!=1$

Теперь понятно! Спасибо!