Тройной интеграл. Сферические координаты.

[Dilettante]

Приветствую! Имеется интеграл:

$$\int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} \int\limits_{}^{} \sqrt {x^2+y^2+z^2}dx dy dz$$

Область интегрирования ограниченна сферой

$$x^2+y^2+z^2=z$$

Необходимо перейти к сфер. координатам. Понимаю, что случай самый простой, специально для сферической СК, но у меня не сходится с ответом. Помогите с последним пределом: :\int\limits_{0}^{2\pi} d\phi \int\limits_{0}^{1/2} \rho^3 d\rho \int\limits_{}^{} sin\theta d\theta$$
Наверняка там есть $arccos(\rho$), а другой предел?
Помогите разобраться, с трудом понимаю принцип расстановки пределов в сфер. координатах.

[Dan B-Yallay]

Dilettante писал(а):

Область интегрирования ограниченна сферой

$$x^2+y^2+z^2=z$$

Помогите разобраться, с трудом понимаю принцип расстановки пределов в сфер. координатах.

Покажите как именно вы переходите к сферическим координатам? Как при этом изменяется подинтегральная функция?

[Dilettante]

$$x=\rho cos\phi sin\theta$$

$$y=\rho sin\phi sin\theta$$

$$z=\rho cos\theta$$

Соответственно функция переходит в $\rho=cos\theta$

[Alexey1]

Dilettante в сообщении #379937 писал(а):

Соответственно функция переходит в $\rho=cos\theta$

Да, это уравнение сферы в сферических координатах, а дальше?

[Dilettante]

Дальше $\theta=arccos(\rho)$. И нужно выставить второй предел. Я не знаю какой. Ноль? От нуля до арккосинуса?

[Alexey1]

А зачем Вы выражаете $\theta$? Вы уже получили пределы интегрирования для $\rho$, то есть от $0$ до $\cos(\theta)$.

[Dilettante]

Что-то я запутался, а тогда какие всё-таки пределы у $\theta$? И вооьще, как тогда правильно расставить пределы в данном интеграле, наведите на мысль

[Alexey1]

Сначала представьте что это за сфера. Для этого, запишите $x^2+y^2+z^2=z$ как $x^2+y^2+(z-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$, то есть сфера с центром $(0,0,\frac{1}{2})$ и радиусом $\frac{1}{2}$.
Теперь посмотрите на то как "работают" сферические координаты. Каждая точка на сфере (и в сфере) описывается тремя координатами $\theta, \phi, \rho$. Относительно $\rho$ Вы всё нашли. Теперь определите как должны меняться остальные координаты, чтобы точки получаемые этими координатами принадлежали сфере.

[Dilettante]

Да, как расположена сфера я понял. Может быть $\theta$ изменяется от нуля до $arccos( \rho /2)$ ?

[Alexey1]

Вам необходимо понять, как определять пределы интегрирования в сферических координатах. Очень хорошая визуализация (анимация) того, как строятся точки в сферических координатах, здесь.
Поменяйте все три координаты и посмотрите как меняются точки. Как должны менятся эти координаты (в частности, $\theta, \phi$, так как пределы интегрирования для $\rho$ уже определены), чтобы перебрать все точки на сфере?

[Dilettante]

Что-то я всё-равно не понял... В любом случае спасибо за внимание, буду разбираться

[ewert]

Dilettante в сообщении #380380 писал(а):

Да, как расположена сфера я понял. Может быть $\theta$ изменяется от нуля до $arccos( \rho /2)$ ?

Может быть. Но вообще-то Вы просто неразумно выбрали порядок интегрирования. В подавляющем большинстве задач (во всяком случае, учебных) выгоднее всего интегрировать по радиусу внутри, а по углу -- снаружи.

[Dilettante]

2Ewert
Насчёт порядка интегрирования - попробую предложенный вами. Вообще выбрал снаружи по радиусу, потому что непонял момент с использованием сферичеких координат, а именно такой порядок использовали на практике. Вот и пытался по аналогии.

2Ewert, Alexey1
Спасибо за внимание к теме и советы!