Неравенство.

[maxmatem]

Вот попалось неравенство. Как мне кажется, оно очень интересное.
$\[ \sqrt {\cos ^4 x + 1} + \sqrt {\sin ^4 x + 1} \leqslant \sqrt 5 \]$

Решение не выкладываю, но оно у меня есть. Просто интересно какими методами его решить проще, чем скажем бональное возведение в квадрат и т.д.

[ИСН]

(Оффтоп)

Видишь врага вплотную - бей штыком. Видишь корень - возводи в квадрат. Что может быть проще, и зачем оно?

Знак не туда.

[neo66]

Можно так, может и не проще, но концептуальней:

1)Обозначим $a=\sin^2(x),b=\cos^2(x)$

2)Хотим доказать:
$a,b\ge 0$,
$a+b=1$,
$\sqrt{a^2+1} + \sqrt{b^2+1}\ge \sqrt 5 $

3)Доказываем выпуклость функции $y=\sqrt{x^2+1}$

4)Применяем неравенство Йенсена.

[maxmatem]

Цитата:

Знак не туда.

Нет, туда!

[Mathusic]

maxmatem в сообщении #379358 писал(а):

Нет, туда!

Подставьте нуль.

[maxmatem]

Да уж, извините за настырность, значит моё первое решение было ошибочно, но сам факт , что я хотел показать решение ч\з векторный метод. Заметим что кори представляют собой длины векторов
$\[ \vec a = \{ \cos ^2 x;1\} \,\,\,\vec b = \{ \sin ^2 x;1\} \] $
Обозначим через $\[ \vec a + \,\,\vec b = \vec c \]$

тогда надо решить неравенство
$\[ |\vec a| + |\,\,\vec b| \geqslant \sqrt 5 \]$
потом пользуемся неравенством треугольника и т.д