Мнимая единица (определение)

[NNDeaz]

Многие говорят что нельзя определять $i$ как $\sqrt{-1}$, Но почему? Я понимаю, что это приводит к противоречиям, но это ведь можно подтвердить формулой Муавра.

$$ \sqrt{-1} = ...= +i$$

$$ \sqrt{-1} = ...= -i$$

[ИСН]

Кто говорит, почему нельзя, какие противоречия?

[Mathusic]

NNDeaz в сообщении #378626 писал(а):

Многие говорят что нельзя определять $i$ как $\sqrt{-1}$, Но почему?

Можно, просто могут возникнуть некоторые софизмы; надо просто аккуратно обращаться с арифметикой. А вообще, да, лучше $i$ воспринимать как формальный элемент $i^2=-1$.

[caxap]

$i$ -- это один из коней $-1$. Не важно какой. Формально, $i=\sqrt{-1}$ не совсем корректно, ибо справо -- множество двух чисел.

[faruk]

...

[NNDeaz]

Ну например есть мнимый парадокс. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 0%BA%D1%81
А если всё-таки определять мнимую единицу как $\sqrt{-1}$ Каким самым главным правилом нужно пользоваться, чтобы не допустить ошибку?

[faruk]

$\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}\neq\sqrt{(-1)\cdot(-1)}$

http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit#Proper_use

[moscwicz]

NNDeaz в сообщении #378626 писал(а):

Многие говорят

а учебник почитать слабО?

[ewert]

NNDeaz в сообщении #378626 писал(а):

Многие говорят что нельзя определять $i$ как $\sqrt{-1}$, Но почему? <...>

$$ \sqrt{-1} = ...= +i$$

$$ \sqrt{-1} = ...= -i$$

Вот именно поэтому. Корнем из минус единицы может считаться (даже если предположить, что это понятие вообще имеет смысл) как $+i$, так и $-i$, и естественного выбора между этими двумя вариантами (в отличие от обычных корней из обычных положительных чисел) не существует.

Поэтому определение $i$ как корня из минус единички формального смысла и лишено напрочь. Хотя все потом так и говорят, но -- лишь для краткости ((точнее, просто для различения мнимой единички от просто индекса -- ведь владение комплексными числами к этому моменту уже подразумевается).

[Joker_vD]

ewert
Погодите. $i$ является корнем из минус одного, это факт. Другое дело, что $-i$ тоже корень. А вопрос, какой именно из этих корней обозначен $i$, никак ни на что не влияет.

[BapuK]

topic25406.html вот здесь можете почитать

[ewert]

Joker_vD в сообщении #378931 писал(а):

ewert
Погодите. $i$ является корнем из минус одного, это факт. Другое дело, что $-i$ тоже корень. А вопрос, какой именно из этих корней обозначен $i$, никак ни на что не влияет.

Какой -- из чего конкретно?... Вопрос о том, обозначается ли буквой $i$ по определению число $i$ или число $-i$ -- этот вопрос, да?...

[Munin]

Если мы по ошибке обозначим как $i$ число $-i,$ то получим источник ошибок и парадоксов. Поэтому этого хотелось бы избежать и не промахнуться. :-)

[Xaositect]

Munin в сообщении #379014 писал(а):

Если мы по ошибке обозначим как $i$ число $-i,$ то получим источник ошибок и парадоксов. Поэтому этого хотелось бы избежать и не промахнуться.

Если мы по ошибке обозначим как $i$ число $-i$, а как $-i$ - число $i$, то вообще ничего не изменится.

[ewert]

Xaositect в сообщении #379017 писал(а):

Munin в сообщении #379014 писал(а):

Если мы по ошибке обозначим как $i$ число $-i,$ то получим источник ошибок и парадоксов. Поэтому этого хотелось бы избежать и не промахнуться.

Если мы по ошибке обозначим как $i$ число $-i$, а как $-i$ - число $i$, то вообще ничего не изменится.

Дело не в том, что ничего не изменится (хотя это и правда). Дело в том, что слова типа "обозначим как $i$ число $-i,$" просто бессмысленны до тех пор, пока $i$ как математический объект уже не определён; а как только он определён -- не имеет смысла говорить о его переопределении.