Модифицированный метод Эйлера с пересчетом

[b322730]

Имеется дифференциальное уравнение второго порядка вида $\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y,y')$
при $y_{|_{x=x_0}}=y_0$ и $y'_{|_{x=x_0}}=y'_0$.
Привел к системе:
$\frac{dy}{dx}=p$
$\frac{dp}{dx}=f(x,y,p)$
Получил итерационные формулы:
$y_{i+1}=y_{i}+h \cdot p$
$y'_{i+1}=p_{i+1}=p_{i}+h \cdot f(x_{i},y_{i},p_{i})$
А как из этого сделать модифицированный метод Эйлера с пересчетом?
Т.е. наподобие нижеследующего:
$\tilde y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1})$
$y_i=y_{i-1}+\frac{(x_i-x_{i-1})}{2}(f(x_{i-1},y_{i-1})+f(x_i,\tilde y_i))$

[ewert]

b322730 в сообщении #375513 писал(а):

А как из этого сделать модифицированный метод Эйлера с пересчетом?
Т.е. наподобие нижеследующего:
$\tilde y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1})$
$y_i=y_{i-1}+\frac{(x_i-x_{i-1})}{2}(f(x_{i-1},y_{i-1})+f(x_i,\tilde y_i))$

Вот ровно так и делайте. Просто формально замените в этих двух строчках скалярные $y$ и $f$ на векторные $\vec z=\begin{pmatrix}y\\ p\end{pmatrix}$ и $\vec F=\begin{pmatrix}p\\ f(x,y,p)\end{pmatrix}$. И распишите каждое из двух векторных равенств как два обычных.

[b322730]

У меня получилось:
$\tilde y_{i+1}=y_{i}+h \cdot p_{i}$
$y_{i+1}=y_{i}+\frac{h}{2}(p_{i}+\dots)$
$\tilde y'_{i+1}=\tilde p_{i+1}=p_{i}+h \cdot f(x_{i},y_{i},p_{i})$
$y'_{i+1}=p_{i+1}=p_{i}+\frac{h}{2}(f(x_{i},y_{i},p_{i})+\dots)$
Что писать вместо троеточия?

[ewert]

b322730 в сообщении #376325 писал(а):

Что писать вместо троеточия?

Сначала из двух обозначений выберите что-то одно: или $y'$, или $p$. Потом вспомните, что у вас стояло вместо многоточия в исходном варианте метода.

[b322730]

Где я ошибся?
$\tilde y_{i+1}=y_{i}+h \cdot p_{i}$
$y_{i+1}=y_{i}+\frac{h}{2}\cdot(p_{i}+\tilde y_{i+1})$
$\tilde p_{i+1}=p_{i}+h \cdot f(x_{i},y_{i},p_{i})$
$p_{i+1}=p_{i}+\frac{h}{2}\cdot(f(x_{i},y_{i},p_{i})+f(x_{i}+h,y_{i},\tilde p_{i}))$

[Null]

$y_{i+1}=y_{i}+\frac{h}{2}\cdot(p_{i}+\tilde y_{i+1})$ - странно функция складывается с производной.