Экстремум функций двух переменных. Метод Лагранжа.

[iowa]

Нужно решить задачу используя метод Лагранжа.

$a^2 + b^2 - xy - x - y \longmapsto extr$
$x+y\le4$
$x\ge0$
$y\ge0$

Давно это всё было, ну совсем забыл как это делать. Полистал старые конспекты, нашел пример решения по данной теме (извиняюсь за отвратное качество):

после помещения темы в карантин стало писать Вы не можете использовать некоторые BBCode: [img].

С составление функции Лагранжа все понятно, а вот что делать дальше не пойму. Помогите разобраться, пожалуйста.

[AD]

Тема перемещена в карантин.
Оформите формулы в $\TeX$е. Введение здесь.
Для редактирования своих сообщений воспользуйтесь кнопкой .
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[AD]

Вернул.

Совершенно не понимаю, к чему тут $a^2+b^2$, если точка экстремума при сдвиге на константу никуда не двигается.

[iowa]

Перепутал при редактировании...

Там $x^2+y^2$ вместо a и b

[мат-ламер]

Сначала решите задачу на безусловный экстремум. Проверьте, является ли он допустимым. Дальше исследуйте границы треугольника.

[iowa]

Вот фотки коспекта с похожей задачей:

[Yu_K]

В ответ на ваши неудачные (по качеству фото) - рекомендуем фильм http://www.youtube.com/watch?v=ry9cgNx1QV8 . Можете попробовать в гугле поискать и посмотреть примеры. И главное начните что-то делать сами.

[iowa]

начал делать, поправляйте, пожалуйста, если неправильно:

$x^2 + y^2 - xy - x - y - L_0(x+y-90) + L_1x + L_2y = F(x,y,L)$

$x^2 + y^2 - xy - x - y - L_0x - L_0y + 90L_0 + L_1x + L_2y$

$F_x = 2x - y - 1 - L_0 + L_1 = 0$
$F_y = 2y - x - 1 - L_0 + L_2 = 0$
$F_L_0 = -x - y + 90 = 0$
$F_L_1 = x = 0$
$F_L_2 = y = 0$

что делать дальше непойму :(

[Yu_K]

Лучше для каждого ограничения взять свою "персональную" функцию Лагранжа. Вам здесь придется решать три задачи для каждой граничной функции. Но здесь для понимания лучше посмотреть как выглядит ваша область допустимых значений и посмотреть просто семейство линий уровня целевой функции. Посмотрите последние картинки здесь post369424.html?hilit=#p369424 - критические точки ф-ции Лагранжа либо обеспечивают параллельность векторов градиентов целевой функции и градиентов граничных функций (экстремум на границе области) либо совпадают с критическими точками исходной функции.

Бывают другого плана задачи, где надо смотреть подобный вашему подход - сразу все ограничения вводить в ф-цию Лагранжа - например найти экстремумы функции трех переменных $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ при условиях, что $x^2+y^2=1$ $x+y+z=1$ - в этом случае ваш подход сработает.

[iowa]

а если решать по моему подходу, какое действие будет следующим?

-- Пн ноя 22, 2010 14:08:40 --

Перерыр весь интернет, но везде все примеры даются при одном ограничении :(

[Yu_K]

А вам разве преподаватель не "говорир" как поступать... либо лучше делать "перерыв" интернета, либо книжки читать... либо пользоваться советами народа на форуме... в той ссылке что приведена была выше post369424.html?hilit=#p369424 г-н ewert все варианты подробно обозначил.

Цитата:

Проще рассказать самому. Теория там вполне примитивна. Максимум и минимум в ограниченной области может достигаться только в точках одного из трёх типов:

1. Стационарные точки, попадающие внутрь области (т.е. такие, что обе частные производные равны нулю -- достаточные условия проверять не нужно).

2. Стационарные точки на каждой из линий, которыми образована граница (естественно, только те, которые попадают на сам участок границы, а не на его продолжение).

3. Вершины, т.е. точки, в которых сходятся два участка, задаваемые разными уравнениями.

Надо просто собрать все эти точки в кучу и отобрать из них наилучшую и наихудшую.

По поводу стационарных точек на границе. Их можно искать так, как это делали Вы -- выразить игрек через икс (или наоборот) из уравнения границы, подставить в исследуемую функцию и приравнять к нулю производную от получившейся функции одной переменной. Или, если граница задана параметрически -- подставить непосредственно эти параметрические уравнения; важно ведь лишь, что полученная функция будет зависеть только от одной переменной, а от какой конкретно -- непринципиально. Или, если подстановка неудобна или не получается -- использовать метод множителей Лагранжа (почитать про него можно, например, здесь).

Начните с того - что нарисуйте область допустимых значений. А потом попробуйте посмотреть есть ли там критические точки внутри...