Сколько подгрупп порядка 4 содержит группа порядка 8?

[Everest]

Здравствуйте, возник небольшой вопрос по теории групп. Занимался ей уже давно, поэтому сразу что-то и не припомню. Решил спросить у Вас подсказки. Вопрос в следующем:
"Сколько подгрупп порядка 4 содержит группа порядка 8?".

Возможно ли как-то это подсчитать? :)

[ИСН]

Это смотря какая бабель группа порядка 8.

[Padawan]

Одну точно содержит :)

[Everest]

Вообще группа $<V_3, +>$, где элементы группы кодовые слова, "+" - сложение по модулю 2 этих кодовых слов.

Т.е. $V_3$= {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}.

[ИСН]

Иными словами, $Z_2\otimes Z_2\otimes Z_2$, или как там это обозначается.

[paha]

ИСН в сообщении #375544 писал(а):

Иными словами, $Z_2\otimes Z_2\otimes Z_2$

ой-ли... тензорное произведение над чем?-)

[ИСН]

Ну это, как его.

-- Пн, 2010-11-15, 21:05 --

Обычное, тупое прямое произведение. Как его это.

[Everest]

А можно факт откуда это следует или где можно почитать про это :)

[Padawan]

Значит, три подгруппы порядка четыре точно есть.

-- Пн ноя 15, 2010 22:20:40 --

ИСН в сообщении #375544 писал(а):

Иными словами, $Z_2\otimes Z_2\otimes Z_2$, или как там это обозначается.

Лучше тогда $Z_2\oplus Z_2\oplus Z_2$ -- прямая сумма

[Everest]

Это значит, что не исключается, что может быть еще?:)

[VAL]

Everest в сообщении #375366 писал(а):

Здравствуйте, возник небольшой вопрос по теории групп. Занимался ей уже давно, поэтому сразу что-то и не припомню. Решил спросить у Вас подсказки. Вопрос в следующем:
"Сколько подгрупп порядка 4 содержит группа порядка 8?".

Возможно ли как-то это подсчитать? :)

Вообще-то, вроде уже выяснили, какая именно группа порядка 8 Вас интересует, но все же.

Всего имеется 5 групп порядка 8 (с точностью до изоморфизма. 3 абелевых, две - нет.
1. Циклическая. В ней одна подгруппа порядка 4.
2. Прямое произведение циклических четвертого и второго порядков. В ней две подгруппы подгруппы порядка 4, одна циклическая, другая нет.
3. Прямое произведение трех групп порядка 2. В ней семь (а не три) подгруппы порядка 4.
4. Группа диэдра. В ней 3 подгруппы порядка 4.
5. Группа кватернионных единиц. В ней 3 подгруппы порядка 4.

Вроде, так.

-- 15 ноя 2010, 20:43 --

Everest в сообщении #375566 писал(а):

Это значит, что не исключается, что может быть еще?:)

Не только может, но и есть!

[paha]

ИСН в сообщении #375550 писал(а):

Обычное, тупое прямое произведение. Как его это.

а зачем значки о-тимес тогда?-)

[Joker_vD]

ИСН в сообщении #375550 писал(а):

Обычное, тупое прямое произведение. Как его это.

Прямое произведение, $A \times B$, оно же (в конечном случае) прямая сумма, $A \oplus B$.

[ИСН]

Ну вот. Понапридумывали значков, вечно их путаю.
Короче, Everest, выписывайте эти подгруппы. Тут целое дело.
Первая, например, вот: {000, 001, 010, 011}.

[VAL]

ИСН в сообщении #375600 писал(а):

Ну вот. Понапридумывали значков, вечно их путаю.
Короче, Everest, выписывайте эти подгруппы. Тут целое дело.
Первая, например, вот: {000, 001, 010, 011}.

А зачем выписывать?
Комбинаторно гораздо проще перебрать. Имеем 7 элементов отличных от нейтрального. Любые два порождают подгруппу из 4-х элементов. Но, поскольку одну подгруппу порождают ровно три пары имеем $\frac{C_7^2}{3}=7$.
А если через системы троек Штейнера зайти еще красивее получится!
Впрочем, иногда не вредно и ручками перебрать :)