уравнение Гельмгольца

[viktorkrug]

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста с выводом уравнения гельмгольца из волнового уравнения

В волновом уравнении

$ \Delta u(\bar x, t) - \frac {1}{c^2}} \frac{\partial ^2 u(\bar x, t)}{\partial t^2}} = 0 $

Функция$ u = U(\bar x)T(t); T(t) = e^{iwt} $
В пространстве фурье преобразовании дифференцирование по времени соответсвует умножению на iw получается уравнение:

$ \Delta$ - оператор Лапласа

как получается выражение

$\Delta U(\bar x) + \frac{w^2}{c^2}} U(\bar x) = 0$


у меня получается прямой подстановко производная второго порядка произведения.
Я еще не читал про фурье преобразования и комплексные числа и просто из - за того что в учебнике была формула подумал посмотреть ее вывод.
Может есть литература с доступным выводом по этому.
Спасибо.

[Bulinator]

viktorkrug в сообщении #375401 писал(а):

В пространстве фурье преобразовании дифференцирование по времени соответсвует умножению на iw получается уравнение:

А зачем вам это?

viktorkrug в сообщении #375401 писал(а):

как получается выражение

$\Delta U(\bar x) + \frac{w^2}{c^2}} U(\bar x) = 0$

Если У Вас есть выражение T(t) так подставте его в исходное уравнение и просто продифференцируйте. Потом сократите $e^{iwt}$

[viktorkrug]

Если не сложно покажите пожалуйста как это записывается

это будет производная произведения,
и в конце
$\Delta U(x) + \frac{w^2}{c^2}} U(x) = 0 $ ?

[Bulinator]

viktorkrug в сообщении #375432 писал(а):

это будет производная произведения,
и в конце
$\Delta U(x) + \frac{w^2}{c^2}} U(x) = 0 $ ?

Именно!
На всякий случай,
$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_3^2}$.

[viktorkrug]

Огромное спасибо.

[viktorkrug]

Не знаю как вычислить производные
$ \partial ^2 e^{iwt} /\partial t^2 $
и $ \partial ^2 e^{iwt} /\partial x^2 $
Подскажите пожалуйста, каке будут производные от этого числа,
и выражение $\frac {1}{c^2}} \frac{\partial ^2U}{\partial t^2}}$ оно в конце сократится.
Спасибо за вашу помощь.

[Gortaur]

Я в этих частотных пространствах не силен, но если тут все как и в другой математике, то

$$ \frac{\partial^2 e^{iwt}}{\partial t^2} $$

ищется как обычная частная производная, т.е. Ва думаете об $iw$ как о константе $a$, тогда

$$ \frac{\partial^2 e^{at}}{\partial t^2} = a^2 e^{at}. $$

Вам останется только подставить чему у Вас равно $a$. Вторая Ваша вторая производная (которая по $x$) равна $0$, так там нет зависимости от переменной дифференцирования.

Это все разумеется если $w$ не зависит от $x$. Если зависит, добавятся еще и производные от $w$ по $x$.

[ewert]

viktorkrug в сообщении #375848 писал(а):

Подскажите пожалуйста, каке будут производные от этого числа,

Не подскажем, ибо это не число, а функция.

А что такое частная производная -- так, между нами, девочками?...

[viktorkrug]

К частной производной применяются некоторые правила обычной производной, все что я нашел о показательной функции $ e^x' = e^x, e^{ax}' = ae^x $ смотрел книги по высшей математике, пока только Смирного, но там надо дополнительную литературу, говорится о разложении показательной функции в ряд Тейлора, пока тоже не изучал, не знаю бдет так же с частной производной по разным основаниям как с обычной $ dx^2/ dt = 2x dt $? И не нашел по комплексной показательной функции, производные. Пытаюсь найти как у функции происходит сокращение и получение конечного результата.

[Bulinator]

viktorkrug
Вы вконец запутались.

От чего зависят Ваши функции $U(x,t)$ и $u(x)$?

Частная производная по некоторой переменной, это когда Вы рассматриваете все остальные переменные как постоянные параметры и берете производную по этой переменной.

Знаете что такое сложная функция и как считать ее производную?

[viktorkrug]

Все понял они равны нулю, сложную частную $ du/dt = \frac {\partial f}{\partial x}} \frac {dx}{dt}} $
если dx зависит от одной переменной $ \frac {\partial f}{\partial x}} \frac {\partial x}{\partial t}} $

но в конце выражение тоже по t $\frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 u}{\partial t^2}}$ зависящая от x, значит равна нулю;
а $ U\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 e^{iwt}}{\partial t^2} $
дает $ U\frac {w^2}{c^2}$
потому что дает комплексня переменная такую производную.
Спасибо за ответы, я забыл, что частная производная по другой переменной когда др. неизменны.