Проверить на сходимость ряд

[Nogin Anton]

Здравствуйте! Не разберусь, каким способом проверить на сходимость ряд

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n+1}$

Д'Аламбером не идёт, необходимым тоже не получается..

[Joker_vD]

Ну, мажорируйте его рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n}$

[Null]

Даламбер работает.

[Nogin Anton]

В смысле сравнивать?

[ewert]

Даламбером, кстати, вполне идёт. Надо просто после деления вынести в числителе и знаменателе главные слагаемые за скобки и этак подсократить вынесенное.

[Nogin Anton]

Как работает? Под пределом отношение последующего к предыдущему члену такое:

$\frac{2^n+1}{2^n\cdot 2+1}$ - ничего вроде не сокращается...

-- Чт ноя 11, 2010 23:00:13 --

Ааа... получилось :) Большое спасибо!

[Joker_vD]

Nogin Anton в сообщении #373798 писал(а):

В смысле сравнивать?

В прямом. Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n}$ сходится. И для любого $k$ верно $\sum\limits_{n=1}^{k} \dfrac{1}{2^n+1} < \sum\limits_{n=1}^{k} \dfrac{1}{2^n}$.

Честно говоря, д'Аламбер здесь — из пушки по воробьям.

[ewert]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #373807 писал(а):

Честно говоря, д'Аламбер здесь — из пушки по воробьям.

Не совсем. Надо ж на чём-то дрессировать. И это -- простейший инструмент для дрессировки (если, конечно, добавить в условие задачи слова: "вот Даламбером -- и кровь из носу").

[Nogin Anton]

А если нужно область сходимости найти :

\sum_{n=1}^{\infty} e^{(1-n)\cdot x}

то теоремой Лейбница нужно воспользоваться (сначала предел, потом члены сравнивать)...?

[paha]

Nogin Anton в сообщении #373829 писал(а):

А если нужно область сходимости найти :

$$\sum_{n=1}^{\infty} e^{(1-n)\cdot x}$$

просуммируйте явно, только проследите за осмысленностью ответа

[ewert]

Nogin Anton в сообщении #373829 писал(а):

А если нужно область сходимости найти :

\sum_{n=1}^{\infty} e^{(1-n)\cdot x}

то теоремой Лейбница нужно воспользоваться (сначала предел, потом члены сравнивать)...?

Надо сделать замену $e^{-x}=t$, после чего ряд формально становится степенным.

[Nogin Anton]

Это получилось! Большое спасибо!

А как лучше исследовать на сходимость этот ряд:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\cdot \sin^n{(nx)}$

Радикальным Коши пойдёт?

[moscwicz]

Nogin Anton в сообщении #373962 писал(а):

Радикальным Коши пойдёт?

не подойдет ,но звучит красиво

[Nogin Anton]

Да уж, им не получается..

[Padawan]

признак сравнения используйте, на абсолютную сходимость.