2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычисление моментов инерции для различных тел.
Сообщение06.11.2010, 01:47 
На семинаре показывали как вычислять для стержня, пластины, диска.В каждом случае свои нюансы.С понятием линейной плотности для стержня и пластины разобрался.Но все равно возник вопрос-вот мы записали,что $\gamma=M/S$.Ищем момент инерции прямоугольной пластины со сторонами a и b относительно оси х,параллельной большей стороне а и проходящий через центр симметрии тела, итого получаем,что I=$\int_{-b/2}^{b/2} a*\gamma*y^2*dy$ .Вопрос- откуда в интеграле взялся множитель a?Потом совсем непонятно как вычислять для обруча.Ясно,что там дифференцировать будем по углу,что $ dI=dm(r\sin(\varphi))^2$,а что дальше? как там быть с линейной плотностью? вычислить нужно для оси,проходящей через диаметр и через центр,перпендикулярно плоскости.Единственно догодался,что $\varphi$ в первом случае будет меняться от 0 до 180, а во втором от 0 до 360. Так же нужно найти момент инерции однородного шара и тонкого сферического слоя ( как будто вся масса сосредоточена на расстоянии К от оси.

 
 
 
 Re: Вычисление моментов инерции для различных тел.
Сообщение06.11.2010, 06:14 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена в в Карантин по следующим причинам:
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$. Как это делать можно посмотреть в теме Краткий ФАК по тегу [math];

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом либо при помощи личного сообщения модератору, либо в теме Сообщение в карантине исправлено.
Рекомендую прочитать тему Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и правила научного форума.

 
 
 
 Re: Вычисление моментов инерции для различных тел.
Сообщение19.11.2010, 00:12 
Аватара пользователя
 i  Возвращено после исправления

Кстати, на будущее рекомендация - не стоит использовать звездочки в качестве знака умножения, ни к чему это. Смотрите как без них аккуратно выглядит$$I=\int_{-b/2}^{b/2} a \gamma y^2 dy$$А с ними как-то совсем нехорошо:$$I=\int_{-b/2}^{b/2} a*\gamma*y^2*dy$$Это, а также окружение формулы долларами не полностью (как у Вас с этой) у нас карается суровыми мерами. Но я полагаю, что этого маленького экскурса было достаточно для Вас.

 
 
 
 Re: Вычисление моментов инерции для различных тел.
Сообщение19.11.2010, 00:53 
Аватара пользователя
The Last Samurai
момент инерции материальной точки есть $mr^2$, где $m$ ее масса а $r$ расстояние от оси, относительно которой собственно этот момент и считается. Теперь, для пластины, есстественно все считать в декартовых координатах $x,y$.

Разбейте пластину на маленькие квадратики со сторонами $dx, dy$. Масса этих квадратиков, очевидно, будет равна $\gamma dx dy$.

Расстояние квадратика от оси $x$ есть $y$. Запишем момент инерции одного из них:
$\gamma y^2 dx dy$.

Момент всей пластины будет равен сумме моментов этих квадратиков,т.е. интегралу
$I=\int\limits_{-a/2}^{a/2}\int\limits_{-b/2}^{b/2}\gamma y^2 dx dy$
Т.к. подинтегральное выражение от $x$ не зависит, по нему сразу интегрируем и выскакивает $a$ о котором Вы спрашивали.


Так же для обруча, только в этом случае расчеты легче проводить в полярных координатах $r,\varphi$

 
 
 
 Re: Вычисление моментов инерции для различных тел.
Сообщение19.11.2010, 07:01 
Про обруч совсем не понял. Естественно, любую задачу разумно приводить к по возможности симметричной. Для обруча момент относительно оси, проходящей через центр, тривиален. И есть общеизвестная теорема Штейнера о том, что при смещении оси на расстояние $d$ относительно центра масс момент инерции увеличивается на $md^2$.

 
 
 
 Re: Вычисление моментов инерции для различных тел.
Сообщение19.11.2010, 23:39 
извините,а можете расписать решение вашего интеграла? я двойные еще не умею брать.Вообще я так понимаю несколько способов существует? в зависимости от того как мы представляем себе элементарную массу- н-р длинными бесконечно узкими полосками или квадратиками.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group