2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 13:53 


10/03/09
96
Надо доказать, что полное сепарабельное метрическое пространство локально компактно, то есть у любой его точки существует окрестность, замыкание которой компактно. Вроде все понятно, берем замкнутый шарик с центром в выбранной точки и хотим показать, что он компактен. Кажется разумным, что проще всего показать полную ограниченность этого шарика. Для этого, используя сепарабельность, надо построить конечную $\varepsilon$-сеть, но что-то она не строится :oops: Прошу помощи или ссылки на литературу. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 13:54 


02/10/10
376
IE в сообщении #369948 писал(а):
полное сепарабельное метрическое пространство локально компактно, то есть у любой его точки существует компактная окрестность.

это неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:02 


10/03/09
96
Вообще я не очень аккуратно написал, у каждой точки должна быть окрестность, замыкание которой компактно. Так конечно лучше.

Неверно, что польское пространство локально компактно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:06 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
$l_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
IE в сообщении #369955 писал(а):
Неверно, что польское пространство локально компактно?

Любое гильбертово (в т.ч. и сепарабельное) пространство не локально компактно по тривиальным причинам -- в нём есть ортонормированные последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:13 


10/03/09
96
Мда, что-то я совсем затупил :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
Множество иррациональных чисел есть $G_{\delta}$ в полном метрическом пространстве $\mathbb R$, поэтому оно метризуемо полной метрикой. Никакой локальной компактности, естественно, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:18 


02/10/10
376
ewert в сообщении #369961 писал(а):
Любое гильбертово (в т.ч. и сепарабельное) пространство не локально компактно

я бы все-таки не был так категоричен:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:19 


10/03/09
96
Раз все так грустно, тогда как построить компактное расширение польского пространства? Просто мне известно только как это сделать для локально компактных пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
Вложите его в гильбертов кирпич и возьмите замыкание.
А вообще, Вам какие свойства хочется сохранить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:24 


10/03/09
96
Мне нужно построить одноточечное компактное расширение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
IE в сообщении #369970 писал(а):
как построить компактное расширение

Как вообще можно расширением получить компактность, если она изначально нарушалась?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
IE писал(а):
Мне нужно построить одноточечное компактное расширение.

Если не хаусдорфово, то нет проблем: добавляете одну точку $*$ и объявляете её окрестностями дополнения до (замкнутых) компактных подмножеств исходного пространства.
А хаусдорфово существует только для локально компактных пространств (и строится так же).

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
moscwicz в сообщении #369969 писал(а):
я бы все-таки не был так категоричен:)

В стандартной терминологии гильбертовость подразумевает бесконечномерность и даже полноту (хотя последнее и не очень принципиально).

 Профиль  
                  
 
 Re: Локальная компактность польского пространства
Сообщение04.11.2010, 14:37 


02/10/10
376
а разве александровская компактификация обязательно должна существовать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group