Локальная компактность польского пространства

[IE]

Надо доказать, что полное сепарабельное метрическое пространство локально компактно, то есть у любой его точки существует окрестность, замыкание которой компактно. Вроде все понятно, берем замкнутый шарик с центром в выбранной точки и хотим показать, что он компактен. Кажется разумным, что проще всего показать полную ограниченность этого шарика. Для этого, используя сепарабельность, надо построить конечную $\varepsilon$-сеть, но что-то она не строится Прошу помощи или ссылки на литературу. Спасибо.

[moscwicz]

IE в сообщении #369948 писал(а):

полное сепарабельное метрическое пространство локально компактно, то есть у любой его точки существует компактная окрестность.

это неверно

[IE]

Вообще я не очень аккуратно написал, у каждой точки должна быть окрестность, замыкание которой компактно. Так конечно лучше.

Неверно, что польское пространство локально компактно?

[id]

$l_2$

[ewert]

IE в сообщении #369955 писал(а):

Неверно, что польское пространство локально компактно?

Любое гильбертово (в т.ч. и сепарабельное) пространство не локально компактно по тривиальным причинам -- в нём есть ортонормированные последовательности.

[IE]

Мда, что-то я совсем затупил

[Someone]

Множество иррациональных чисел есть $G_{\delta}$ в полном метрическом пространстве $\mathbb R$, поэтому оно метризуемо полной метрикой. Никакой локальной компактности, естественно, нет.

[moscwicz]

ewert в сообщении #369961 писал(а):

Любое гильбертово (в т.ч. и сепарабельное) пространство не локально компактно

я бы все-таки не был так категоричен:)

[IE]

Раз все так грустно, тогда как построить компактное расширение польского пространства? Просто мне известно только как это сделать для локально компактных пространств.

[Someone]

Вложите его в гильбертов кирпич и возьмите замыкание.
А вообще, Вам какие свойства хочется сохранить?

[IE]

Мне нужно построить одноточечное компактное расширение.

[ewert]

IE в сообщении #369970 писал(а):

как построить компактное расширение

Как вообще можно расширением получить компактность, если она изначально нарушалась?...

[Someone]

IE писал(а):

Мне нужно построить одноточечное компактное расширение.

Если не хаусдорфово, то нет проблем: добавляете одну точку $*$ и объявляете её окрестностями дополнения до (замкнутых) компактных подмножеств исходного пространства.
А хаусдорфово существует только для локально компактных пространств (и строится так же).

[ewert]

moscwicz в сообщении #369969 писал(а):

я бы все-таки не был так категоричен:)

В стандартной терминологии гильбертовость подразумевает бесконечномерность и даже полноту (хотя последнее и не очень принципиально).

[moscwicz]

а разве александровская компактификация обязательно должна существовать?