предел с параметрами

[Marsel]

помогите решить пожалуйста такую задачу:
Найти значения параметров $a,b,c$, при которых
$\lim\limits_{x\to \infty}(\sqrt{x^4-2x^2-3}-ax^2-bx-c) = 0$

[Someone]

Стандартный приём: перевести иррациональность из числителя в знаменатель.

[Marsel]

перевел, а дальше что?

-- Вс окт 31, 2010 14:58:25 --

применять эквиваленцию можно?

[ewert]

Marsel в сообщении #368295 писал(а):

перевел, а дальше что?

Раскрывайте в числителе скобки и приравнивайте к нулю коэффициенты при всех нехороших степенях (ведь чему эквивалентен знаменатель -- Вам известно?...).

[Marsel]

знаменатель эквивалентен $x^2+ax^2$
так?

[ИСН]

не совсем

[Marsel]

так так так..... я же смотрю на бесконечности...тогда чему?=(

[ewert]

Видимо, имелась в виду просто необходимость заранее (в самом начале) оговорить особый случай $a=-1$.

[Marsel]

а, ну да...
то есть рассматривать отдельный случай когда $a=-1$, или вообще этот случай необходимо исключить?

[ewert]

Рассматривать как отдельный.

[ИСН]

и тем самым, в итоге, исключить.

[Someone]

Marsel в сообщении #368317 писал(а):

так так так..... я же смотрю на бесконечности...тогда чему?=(

$\sqrt{x^4-2x^2-3}=x^2\sqrt{1-\left(\frac 2{x^2}+\frac 3{x^4}\right)}=x^2\left(1-\frac 12\left(\frac 2{x^2}+\frac 3{x^4}\right)-\frac 18\left(\frac 2{x^2}+\frac 3{x^4}\right)^2+o\left(\frac 1{x^4}\right)\right)=$
$=x^2-1-\frac 2{x^2}+o\left(\frac 1{x^2}\right)$ при $x\to\infty$.
Просто эквивалентности может оказаться мало.

[ewert]

Someone в сообщении #368354 писал(а):

Просто эквивалентности может оказаться мало.

Если уж этим способом, то всё гораздо грубее:

$x^2\sqrt{1-\left(\dfrac 2{x^2}+\dfrac 3{x^4}\right)}=x^2\left(1-\dfrac 1{x^2}+o\left(\dfrac 1{x^2}\right)\right)=x^2-1+o(1).$

Т.е. эквивалентности -- вполне достаточно.

[Someone]

Да, хватает.