Множество нат. чисел.

[MrDindows]

Есть множество натуральных чисел 1, 2,3 ..2n.
Можно ли его для любого натурального $n$ разбить на два таких множества А и B, что:
$A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$
$B=\{b_1,b_2,...,b_n\}$

А количество делителей числа $(a_1+b_1)(a_2+b_2)...(a_n+b_n) <=2^n$


Я предполагаю, что надо разбить данное множество на множества:
$A=\{1,2,...,n\}$
$B=\{2n,2n-1,...,n+1\}$
Тогда количество делителей числа $(2n+1)^n$ будет равно $(n\alpha_1+1)(n\alpha_2+1)...(n\alpha_k+1)$
Но дальше оценить не получается...)

[ИСН]

А чего дальше-то? Сколько скобок? Да сколько разных простых делителей у $2n+1$, вот сколько. Сильно много их быть не может ($\log_2n$, если они все двойки, а ведь надо-то "разных"), так что вот.
Вылезает оценка порядка $e^{\ln^2n}$.

[MrDindows]

То, что разных надо, чтоб число больше было, я понимаю)
А вот откуда вы взяли e^{ln^2 n} ?

[ИСН]

Ну сколько у нас скобок? Допустим, $k$. Теперь: $k$ не может быть больше чего? а каждая скобка? а их произведение?..

[MrDindows]

k ...ну если наше число 2n+1 поделить сначала на 3, потом на 5, потом на 7, потом на 11..., ну и пока оно не станет меньше чем следующее простое) Но я не знаю как это записать....

Ну а каждая скобка, походу, должна равнятся (n+1),так как альфа мы берём максимальное количество, но при этом их всех приравниваем к еденице.

[ИСН]

ИСН в сообщении #368234 писал(а):

Сильно много их быть не может ($\log_2n$, если они все двойки...)

это уже достаточно хорошая оценка

[MrDindows]

У нас какбы число 2n+1, оно нечётное, поэтому я брал оценку
$(n+1)^{\[log_3 2n+1\]}$
Но тут я уже столкнулся с проблемой, как доказать что это меньше-равно $2^n$ ?)
Ведь при n=4, 5 оно вообще не выполняется.) Ладно, это всеголишь 2 случая, их можно исключить просто перебором, но всё-равно, как доказать такое неравенство:
$(n+1)^{\[log_3 2n+1\]}<=2^n, n>=6$

[ИСН]

Ну вот и всё, собсно.

[MrDindows]

Но тут я уже столкнулся с проблемой, как доказать что это меньше-равно $2^n$ ?)
Ведь при n=4, 5 оно вообще не выполняется.) Ладно, это всеголишь 2 случая, их можно исключить просто перебором, но всё-равно, как доказать такое неравенство:
$(n+1)^{[log_3 2n+1]}<=2^n, n>=6$

Я конечно понимаю, что вторая часть будет расти намного быстрее, но тем не менее, не знаю, какими преобразованиями это можно показать=(

[ИСН]

Ну логарифм, ну.

[MrDindows]

Да...логарифм....но я их ещё даже не учил)
Вот смотрю на формулы, свойства логарифмов, но как-то идей нету, что б применить)