Точки в пространстве

[Edward_Tur]

Могу предположить, как создавалась задача:
В тривиальном неравенстве:
$\sum\limits_1^n {x_k^2} \le (m + M)\sum\limits_1^n {{x_k}} - nmM$
положили $\sum\limits_1^n {{x_k}=0$.

[Rasool]

Edward_Tur в сообщении #367787 писал(а):

Могу предположить, как создавалась задача:
В тривиальном неравенстве:
$\sum\limits_1^n {x_k^2} \le (m + M)\sum\limits_1^n {{x_k}} - nmM$
положили $\sum\limits_1^n {{x_k}=0$.

Да, так и есть.

-- Сб окт 30, 2010 13:18:04 --

maxal в сообщении #367765 писал(а):

Итак, сумма квадратов всех чисел не превосходит

$$Sm + SM = mM\left(\frac{S}{M} + \frac{S}{m}\right) \leq mMn.$$

Спасибо!

[svv]

К задаче maxal о хорошем множестве. Доказательство того, что на кривой
$x=\cos t, y=\sin t, z=t, t \in [0, \pi/2]$
никакие четыре точки не лежат в одной плоскости. Лучше поздно, чем никогда.

Выберем на кривой четыре различных точки $A, B, C, D$. Пусть этот порядок соответствует возрастанию параметра $t$, иначе добъемся этого переименованием. Кстати, параметр $t$ совпадает с цилиндрической координатой $\varphi$ точки.

1) Прямые $AB$ и $CD$ непараллельны.

(Подробнее)

Это следует из того, что непараллельны их проекции на плоскость $xOy$. А проекции непараллельны, так как непараллельны перпендикуляры к этим проекциям из начала координат $O$. Один перпендикуляр проходит через середину отрезка $A_0B_0$, другой через середину отрезка $C_0D_0$ (индекс $0$ означает проекцию точки на $xOy$)

Тогда, если $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости, прямые $AB$ и $CD$ должны были бы пересекаться.

2) Цилиндрические координаты $\rho, z$ точки на прямой $AB$ являются однозначной функцией угловой цилиндрической координаты точки $\varphi \in [0, \pi/2]$.

(Подробнее)

Перпендикуляр к проекции $AB$ на $xOy$ из точки $O$ проходит через середину отрезка $A_0B_0$ (индекс $0$ означает проекцию точки на $xOy$). Следовательно, угол $\varphi$, при котором плоскость $\varphi=\mathrm{const}$ параллельна прямой $AB$, не лежит в пределах $[0, \pi/2]$. Значит, для углов $[0, \pi/2]$ прямая $AB$ пересекает плоскость $\varphi=\mathrm{const}$ в одной точке.

Аналогично для $CD$. Ниже рассматриваем $\varphi$ только в этих пределах.

3) Функция $\rho^{AB}(\varphi)$ на прямой $AB$ равна $1$ в точках $A$ и $B$. При $\varphi>\varphi_B$ эта функция возрастающая. При $\varphi<\varphi_A$ она убывающая.
Функция $\rho^{CD}(\varphi)$ на прямой $CD$ равна $1$ в точках $C$ и $D$. При $\varphi>\varphi_D$ эта функция возрастающая. При $\varphi<\varphi_C$ она убывающая.

(Подробнее)

Вместо прямой $AB$ можно рассмотреть ее проекцию $A_0B_0$ на $xOy$, так как проектирование любой точки прямой не меняет $\rho, \varphi$. Отрезок $A_0B_0$ (хорда) лежит в пределах единичной окружности. Его середина $M$ -- ближайшая к началу координат точка прямой $A_0B_0$. Все остальные точки имеют $\rho=\rho_{min}/\cos(\varphi-\varphi_M)$, где $\varphi_M=(\varphi_B+\varphi_A)/2$.

4) Следовательно, разность $\rho^{CD}(\varphi)-\rho^{AB}(\varphi)$ отрицательна в точке $C$ и положительна в точке $B$. Значит, существует угол $\varphi$ в интервале $\varphi_B<\varphi<\varphi_C$, для которого $\rho^{AB}(\varphi)=\rho^{CD}(\varphi)$. Значит, если прямые $AB$ и $CD$ пересекаются, то $\varphi$ точки пересечения лежит только в этом интервале (двух пересечений быть не может).

5) Найдем вид функции $z^{AB}(\varphi)$. Это может сделать любой первокурсник, опираясь на то, что прямая $AB$ проходит через точки $A$ ($\rho=1, \varphi=\varphi_A, z=z_A=\varphi_A$) и $B$ ($\rho=1, \varphi=\varphi_B, z=z_B=\varphi_B$). Результат:

$$z^{AB}(\varphi)=\frac {\varphi_B+\varphi_A} 2 + \frac {\varphi_B-\varphi_A} 2 \frac {\tg(\varphi- \frac {\varphi_B+\varphi_A} 2)} {\tg \frac {\varphi_B-\varphi_A} 2 },$$

что можно привести к виду

$$z^{AB}(\varphi)-\varphi=(\varphi-\varphi_M) \frac {\Delta \varphi} {\tg \Delta \varphi} \left[\frac {\tg(\varphi-\varphi_M)} {\varphi-\varphi_M} - \frac {\tg(\Delta \varphi)} {\Delta \varphi} \right],$$

где $\varphi_M=\frac {\varphi_B+\varphi_A} 2, \Delta \varphi=\frac {\varphi_B-\varphi_A} 2$. Функцию угла $z(\varphi)-\varphi$ для прямой назовем её превышением.

6) Так как $\tg x/x>1$ -- возрастающая функция при $0<x<\pi/2$, выражение в квадратных скобках положительно при $|\varphi-\varphi_M|>\Delta \varphi$, то есть за пределами отрезка $AB$. А превышение положительно для $\varphi>\varphi_B$ и отрицательно для $\varphi<\varphi_A$.
Аналогично для прямой $CD$ превышение положительно для $\varphi>\varphi_D$ и отрицательно для $\varphi<\varphi_C$.

7) Следовательно, для углов $\varphi_B<\varphi<\varphi_C$ превышения прямых $AB$ и $CD$ имеют разный знак. (Это означает простой геометрический факт: наблюдатель, стоящий на винтовой линии между точкой $B$ и $C$, видит, что на «его» плоскости $\varphi=\mathrm{const}$ прямая $AB$ выше наблюдателя, а $CD$ – ниже наблюдателя).

8) Так как превышения не равны, не равны также $z^{AB}(\varphi)$ и $z^{CD}(\varphi)$. Поэтому в том единственном интервале углов, где прямые $AB$ и $CD$ могли бы пересекаться, они в действительности не пересекаются. Так как $AB$ и $CD$ непараллельны, $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости.

[Профессор Снэйп]

svv в сообщении #367934 писал(а):

К задаче maxal о хорошем множестве...

Это не его, а моя задача

Начиная с пятого пункта вникать стало лень. Готов поверить...

Два других решения можно найти здесь.

[svv]

Цитата:

Это не его, а моя задача

Ой, простите

Цитата:

Начиная с пятого пункта вникать стало лень. Готов поверить...

Вот он, секрет успеха!
Прочитайте только неформальное пояснение в пункте 7 в скобках -- это идея доказательства.

Цитата:

Два других решения можно найти здесь.

Спасибо!

[Профессор Снэйп]

svv в сообщении #367960 писал(а):

Прочитайте только неформальное пояснение в пункте 7 в скобках -- это идея доказательства.

Идею я понял Но чтобы проверить, что она проходит, надо вникать в детали.

[Профессор Снэйп]

Вот интересно, со спиралью получится тупое вычисление через определители?

Пусть в $\mathbb{R}^3$ даны 4 точки $\{ (x_i, y_i, z_i) \}_{i = 1,2,3,4}$. Легко показать, что они лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда

$$ \mathrm{det} \left( \begin{array}{cccc} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{array} \right) = 0 $$

Пусть теперь $0 \leqslant t_1 < t_2 < t_3 < t_4 \leqslant \pi/2$. Получаем, что определитель

$$ \left| \begin{array}{cccc} 1 & \cos t_1 & \sin t_1 & t_1 \\ 1 & \cos t_2 & \sin t_2 & t_2 \\ 1 & \cos t_3 & \sin t_3 & t_3 \\ 1 & \cos t_4 & \sin t_4 & t_4 \end{array} \right|$$

не должен быть равен нулю. Привёл его к виду

$$ \begin{array}{l} (t_2-t_1)\sin(t_4-t_3) - (t_3-t_1)\sin(t_4-t_2) + (t_4-t_1)\sin(t_3-t_2) + \\ (t_3-t_2)\sin(t_4-t_1) - (t_4-t_2)\sin(t_3-t_1) + (t_4-t_3)\sin(t_2-t_1) \end{array} $$

Что-нибудь можно сделать с этим выражением?